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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)-3sin(x)cos(x)+2cos^2(x)=0

Lösung

sin^{2} (x) - 3 sin (x) cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Lösung

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.10714 \dots + πn

Grad

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 63.43494 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) - 3 sin (x) cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Faktorisiere

sin^{2} (x) - 3 sin (x) cos (x) + 2 cos^{2} (x) : (sin (x) - cos (x)) (sin (x) - 2 cos (x))

sin^{2} (x) - 3 sin (x) cos (x) + 2 cos^{2} (x)

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

sin^{2} (x) - 3 sin (x) cos (x) + 2 cos^{2} (x)

Definition

Faktoren von

2 : 1, 2

2

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Addiere 1

1

Die Faktoren von

2

1, 2

Negative Faktoren von

2 : - 1, - 2

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = 2,

prüfe, ob

u + v = - 3

Prüfe

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

Wahr

u = - 1, v = - 2

Gruppiere

(a x^{2} + ux y) + (vx y + c y^{2})

(sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (- 2 sin (x) cos (x) + 2 cos^{2} (x))

= (sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (- 2 sin (x) cos (x) + 2 cos^{2} (x))

Klammere

sin (x)

aus

sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)

aus

: sin (x) (sin (x) - cos (x))

sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= sin (x) sin (x) - sin (x) cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

sin (x)

= sin (x) (sin (x) - cos (x))

Klammere

- 2 cos (x)

aus

- 2 sin (x) cos (x) + 2 cos^{2} (x)

aus

: - 2 cos (x) (sin (x) - cos (x))

- 2 sin (x) cos (x) + 2 cos^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (x) = cos (x) cos (x)

= - 2 sin (x) cos (x) + 2 cos (x) cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

- 2 cos (x)

= - 2 cos (x) (sin (x) - cos (x))

= sin (x) (sin (x) - cos (x)) - 2 cos (x) (sin (x) - cos (x))

Klammere gleiche Terme aus

sin (x) - cos (x)

= (sin (x) - cos (x)) (sin (x) - 2 cos (x))

(sin (x) - cos (x)) (sin (x) - 2 cos (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (x) - cos (x) = 0 or sin (x) - 2 cos (x) = 0

sin (x) - cos (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn

sin (x) - cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) - cos (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1 = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 1 = 0

tan (x) - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

tan (x) - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

tan (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

sin (x) - 2 cos (x) = 0 : x = arctan (2) + πn

sin (x) - 2 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) - 2 cos (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - 2 cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 2 = 0

tan (x) - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

tan (x) - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

tan (x) - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

tan (x) = 2

tan (x) = 2

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = 2

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 2

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (2) + πn

x = arctan (2) + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{4} + πn, x = arctan (2) + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.10714 \dots + πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(t)=-(sqrt(2))/2

sin (t) = - \frac{2}{2}

9cos(2θ)=9cos^2(θ)-4

9 cos (2 θ) = 9 cos^{2} (θ) - 4

-10sin(x)=0

- 10 sin (x) = 0

sin(x/5)=0

sin (\frac{x}{5}) = 0

8400=624sin((2pi)/(365)t)+8736

8400 = 624 sin (\frac{2 π}{365} t) + 8736