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Beliebt Trigonometrie >

2cos(x)-2sin(x)=sqrt(6)

Lösung

2 cos (x) - 2 sin (x) = 6

Lösung

x = - 1.30899 \dots + 2 πn, x = - 0.26179 \dots + 2 πn

Grad

x = - 7 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 1 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (x) - 2 sin (x) = 6

Füge

2 sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

2 cos (x) = 6 + 2 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(2 cos (x))^{2} = (6 + 2 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(6 + 2 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

4 cos^{2} (x) - 6 - 46 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 6 + 4 cos^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 6

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 6 + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 6

Vereinfache

- 6 + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 6 : - 8 sin^{2} (x) - 46 sin (x) - 2

- 6 + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 6

= - 6 + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x) - 46 sin (x)

Multipliziere aus

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= - 6 + 4 - 4 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 6

Vereinfache

- 6 + 4 - 4 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 6 : - 8 sin^{2} (x) - 46 sin (x) - 2

- 6 + 4 - 4 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 6

Addiere gleiche Elemente:

- 4 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) = - 8 sin^{2} (x)

= - 6 + 4 - 8 sin^{2} (x) - 46 sin (x)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 6 + 4 = - 2

= - 8 sin^{2} (x) - 46 sin (x) - 2

= - 8 sin^{2} (x) - 46 sin (x) - 2

= - 8 sin^{2} (x) - 46 sin (x) - 2

- 2 - 8 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 6 = 0

Löse mit Substitution

- 2 - 8 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 6 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 2 - 8 u^{2} - 4 u 6 = 0

- 2 - 8 u^{2} - 4 u 6 = 0 : u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

- 2 - 8 u^{2} - 4 u 6 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 8 u^{2} - 46 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 8 u^{2} - 46 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 8, b = - 46, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 6 ) \pm ( - 4 6 ) ^{2} - 4 ( - 8 ) ( - 2 )}{2 ( - 8 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 6 ) \pm ( - 4 6 ) ^{2} - 4 ( - 8 ) ( - 2 )}{2 ( - 8 )}

(- 46)^{2} - 4 (- 8) (- 2) = 42

(- 46)^{2} - 4 (- 8) (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 46)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 2

(- 46)^{2} = 4^{2} \cdot 6

(- 46)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 46)^{2} = (46)^{2}

= (46)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} (6)^{2}

(6)^{2} : 6

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (6^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 6

= 4^{2} \cdot 6

4 \cdot 8 \cdot 2 = 64

4 \cdot 8 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 8 \cdot 2 = 64

= 64

= 4^{2} \cdot 6 - 64

4^{2} \cdot 6 = 96

4^{2} \cdot 6

4^{2} = 16

= 16 \cdot 6

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 6 = 96

= 96

= 96 - 64

Subtrahiere die Zahlen:

96 - 64 = 32

= 32

Primfaktorzerlegung von

32 : 2^{5}

32

32

ist durch

232 = 16 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Fasse zusammen

= 42

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 6 ) \pm 4 2}{2 ( - 8 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 6 ) + 4 2}{2 ( - 8 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 6 ) - 4 2}{2 ( - 8 )}

u = \frac{- ( - 4 6 ) + 4 2}{2 ( - 8 )} : - \frac{6 + 2}{4}

\frac{- ( - 4 6 ) + 4 2}{2 ( - 8 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 6 + 4 2}{- 2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{4 6 + 4 2}{- 16}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 6 + 4 2}{16}

Streiche

\frac{4 6 + 4 2}{16} : \frac{6 + 2}{4}

\frac{4 6 + 4 2}{16}

Klammere gleiche Terme aus

4

= \frac{4 ( 6 + 2 )}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{6 + 2}{4}

= - \frac{6 + 2}{4}

u = \frac{- ( - 4 6 ) - 4 2}{2 ( - 8 )} : - \frac{6 - 2}{4}

\frac{- ( - 4 6 ) - 4 2}{2 ( - 8 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 6 - 4 2}{- 2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{4 6 - 4 2}{- 16}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 6 - 4 2}{16}

Streiche

\frac{4 6 - 4 2}{16} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{4 6 - 4 2}{16}

Klammere gleiche Terme aus

4

= \frac{4 ( 6 - 2 )}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{6 - 2}{4}

= - \frac{6 - 2}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}, sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}, sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4} : x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4} : x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 cos (x) - 2 sin (x) = 6

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

2 cos (x) - 2 sin (x) = 6

ein, um zu lösen

2 cos (arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 2 sin (arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

2.44948 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

2 cos (x) - 2 sin (x) = 6

ein, um zu lösen

2 cos (π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 2 sin (π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

1.41421 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

2 cos (x) - 2 sin (x) = 6

ein, um zu lösen

2 cos (arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 2 sin (arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

2.44948 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

2 cos (x) - 2 sin (x) = 6

ein, um zu lösen

2 cos (π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 2 sin (π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

- 1.41421 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 1.30899 \dots + 2 πn, x = - 0.26179 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin^2(θ)+5sin(θ)=3

2 sin^{2} (θ) + 5 sin (θ) = 3

-4tan^2(θ)-9tan(θ)-2=0

- 4 tan^{2} (θ) - 9 tan (θ) - 2 = 0

sqrt(3)cos(x)=sin(x)+1

3 cos (x) = sin (x) + 1

4tan^3(x)-12tan(x)=0

4 tan^{3} (x) - 12 tan (x) = 0

sin(x)= 64/80

sin (x) = \frac{64}{80}