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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)=2sin^2(x/2)

Lösung

sin^{2} (x) = 2 sin^{2} (\frac{x}{2})

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) = 2 sin^{2} (\frac{x}{2})

Subtrahiere

2 sin^{2} (\frac{x}{2})

von beiden Seiten

sin^{2} (x) - 2 sin^{2} (\frac{x}{2}) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin^{2} (x) - 2 sin^{2} (\frac{x}{2})

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 1 - cos^{2} (x) - 2 (1 - cos^{2} (\frac{x}{2}))

Vereinfache

1 - cos^{2} (x) - 2 (1 - cos^{2} (\frac{x}{2})) : 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) - cos^{2} (x) - 1

1 - cos^{2} (x) - 2 (1 - cos^{2} (\frac{x}{2}))

Multipliziere aus

- 2 (1 - cos^{2} (\frac{x}{2})) : - 2 + 2 cos^{2} (\frac{x}{2})

- 2 (1 - cos^{2} (\frac{x}{2}))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = cos^{2} (\frac{x}{2})

= - 2 \cdot 1 - (- 2) cos^{2} (\frac{x}{2})

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 cos^{2} (\frac{x}{2})

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 cos^{2} (\frac{x}{2})

= 1 - cos^{2} (x) - 2 + 2 cos^{2} (\frac{x}{2})

Vereinfache

1 - cos^{2} (x) - 2 + 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) : 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) - cos^{2} (x) - 1

1 - cos^{2} (x) - 2 + 2 cos^{2} (\frac{x}{2})

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (x) + 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) + 1 - 2

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 2 = - 1

= 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) - cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) - cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) - cos^{2} (x) - 1

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 cos^{2} (x) - 1 = cos (2 x)

= - cos^{2} (x) + cos (2 \cdot \frac{x}{2})

Multipliziere

2 \cdot \frac{x}{2} : x

2 \cdot \frac{x}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{x \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= x

= - cos^{2} (x) + cos (x)

cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

u - u^{2} = 0

u - u^{2} = 0 : u = 0, u = 1

u - u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} + u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 1 + 0

Addiere die Zahlen:

1 + 0 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 1}{- 2 \cdot 1}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 1}{- 2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 0, cos (x) = 1

cos (x) = 0, cos (x) = 1

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

5sin(x)=cos(x)-4

5 sin (x) = cos (x) - 4

-21tan(x)+3sqrt(3)=-3(sqrt(3)+tan(x))

- 21 tan (x) + 33 = - 3 (3 + tan (x))

tan(y)=-1

tan (y) = - 1

tan(x)= 12/4

tan (x) = \frac{12}{4}

1-sqrt(2)cos(θ)=0

1 - 2 cos (θ) = 0