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Beliebt Trigonometrie >

2sin(2θ)cos(θ)+cos(2θ)sin(θ)=0

Lösung

2 sin (2 θ) cos (θ) + cos (2 θ) sin (θ) = 0

Lösung

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = - 1.15026 \dots + πn, θ = 1.15026 \dots + πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 65.90515 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 65.90515 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin (2 θ) cos (θ) + cos (2 θ) sin (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 θ) sin (θ) + 2 cos (θ) sin (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 θ) sin (θ) + 2 cos (θ) \cdot 2 sin (θ) cos (θ)

2 cos (θ) \cdot 2 sin (θ) cos (θ) = 4 cos^{2} (θ) sin (θ)

2 cos (θ) \cdot 2 sin (θ) cos (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 cos (θ) sin (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= 4 sin (θ) cos^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 4 sin (θ) cos^{2} (θ)

= cos (2 θ) sin (θ) + 4 cos^{2} (θ) sin (θ)

cos (2 θ) sin (θ) + 4 cos^{2} (θ) sin (θ) = 0

Faktorisiere

cos (2 θ) sin (θ) + 4 cos^{2} (θ) sin (θ) : sin (θ) (cos (2 θ) + 4 cos^{2} (θ))

cos (2 θ) sin (θ) + 4 cos^{2} (θ) sin (θ)

Klammere gleiche Terme aus

sin (θ)

= sin (θ) (cos (2 θ) + 4 cos^{2} (θ))

sin (θ) (cos (2 θ) + 4 cos^{2} (θ)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (θ) = 0 or cos (2 θ) + 4 cos^{2} (θ) = 0

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

cos (2 θ) + 4 cos^{2} (θ) = 0 : θ = arctan (- 5) + πn, θ = arctan (5) + πn

cos (2 θ) + 4 cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 θ) + 4 cos^{2} (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ) + 4 cos^{2} (θ)

Vereinfache

= 5 cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

- sin^{2} (θ) + 5 cos^{2} (θ) = 0

Faktorisiere

- sin^{2} (θ) + 5 cos^{2} (θ) : (5 cos (θ) + sin (θ)) (5 cos (θ) - sin (θ))

- sin^{2} (θ) + 5 cos^{2} (θ)

Schreibe

5 cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

um:

(5 cos (θ))^{2} - sin^{2} (θ)

5 cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

5 = (5)^{2}

= (5)^{2} cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(5)^{2} cos^{2} (θ) = (5 cos (θ))^{2}

= (5 cos (θ))^{2} - sin^{2} (θ)

= (5 cos (θ))^{2} - sin^{2} (θ)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(5 cos (θ))^{2} - sin^{2} (θ) = (5 cos (θ) + sin (θ)) (5 cos (θ) - sin (θ))

= (5 cos (θ) + sin (θ)) (5 cos (θ) - sin (θ))

(5 cos (θ) + sin (θ)) (5 cos (θ) - sin (θ)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

5 cos (θ) + sin (θ) = 0 or 5 cos (θ) - sin (θ) = 0

5 cos (θ) + sin (θ) = 0 : θ = arctan (- 5) + πn

5 cos (θ) + sin (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

5 cos (θ) + sin (θ) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (θ), cos (θ) \neq = 0

\frac{5 cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{0}{cos ( θ )}

Vereinfache

5 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

5 + tan (θ) = 0

5 + tan (θ) = 0

Verschiebe

5

auf die rechte Seite

5 + tan (θ) = 0

Subtrahiere

5

von beiden Seiten

5 + tan (θ) - 5 = 0 - 5

Vereinfache

tan (θ) = - 5

tan (θ) = - 5

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (θ) = - 5

Allgemeine Lösung für

tan (θ) = - 5

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

θ = arctan (- 5) + πn

θ = arctan (- 5) + πn

5 cos (θ) - sin (θ) = 0 : θ = arctan (5) + πn

5 cos (θ) - sin (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

5 cos (θ) - sin (θ) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (θ), cos (θ) \neq = 0

\frac{5 cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{0}{cos ( θ )}

Vereinfache

5 - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

5 - tan (θ) = 0

5 - tan (θ) = 0

Verschiebe

5

auf die rechte Seite

5 - tan (θ) = 0

Subtrahiere

5

von beiden Seiten

5 - tan (θ) - 5 = 0 - 5

Vereinfache

- tan (θ) = - 5

- tan (θ) = - 5

Teile beide Seiten durch

- 1

- tan (θ) = - 5

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- tan ( θ )}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}

Vereinfache

tan (θ) = 5

tan (θ) = 5

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (θ) = 5

Allgemeine Lösung für

tan (θ) = 5

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

θ = arctan (5) + πn

θ = arctan (5) + πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arctan (- 5) + πn, θ = arctan (5) + πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = arctan (- 5) + πn, θ = arctan (5) + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = - 1.15026 \dots + πn, θ = 1.15026 \dots + πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin^2(x)=2+cos(x),0<= x<= 2pi

2 sin^{2} (x) = 2 + cos (x), 0 \leq x \leq 2 π

sec(x)+sqrt(2)=0

sec (x) + 2 = 0

sin^2(x)+cos(x)-1=0

sin^{2} (x) + cos (x) - 1 = 0

12tan(x)+5=5tan(x)+5

12 tan (x) + 5 = 5 tan (x) + 5

4cos(x)+3sin(x)=0

4 cos (x) + 3 sin (x) = 0