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tan(2θ)-tan(θ)=0,0<θ<2pi

Solución

tan (2 θ) - tan (θ) = 0, 0 < θ < 2 π

Solución

θ = π

Grados

θ = 18 0^{\circ}

Pasos de solución

tan (2 θ) - tan (θ) = 0, 0 < θ < 2 π

Re-escribir usando identidades trigonométricas

tan (2 θ) - tan (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - tan (θ)

Simplificar

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - tan (θ) : \frac{tan ( θ ) + tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - tan (θ)

Convertir a fracción:

tan (θ) = \frac{tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

= \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - \frac{tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 tan ( θ ) - tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Expandir

2 tan (θ) - tan (θ) (1 - tan^{2} (θ)) : tan (θ) + tan^{3} (θ)

2 tan (θ) - tan (θ) (1 - tan^{2} (θ))

Expandir

- tan (θ) (1 - tan^{2} (θ)) : - tan (θ) + tan^{3} (θ)

- tan (θ) (1 - tan^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - tan (θ), b = 1, c = tan^{2} (θ)

= - tan (θ) \cdot 1 - (- tan (θ)) tan^{2} (θ)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 1 \cdot tan (θ) + tan^{2} (θ) tan (θ)

Simplificar

- 1 \cdot tan (θ) + tan^{2} (θ) tan (θ) : - tan (θ) + tan^{3} (θ)

- 1 \cdot tan (θ) + tan^{2} (θ) tan (θ)

1 \cdot tan (θ) = tan (θ)

1 \cdot tan (θ)

Multiplicar:

1 \cdot tan (θ) = tan (θ)

= tan (θ)

tan^{2} (θ) tan (θ) = tan^{3} (θ)

tan^{2} (θ) tan (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan^{2} (θ) tan (θ) = tan^{2 + 1} (θ)

= tan^{2 + 1} (θ)

Sumar:

2 + 1 = 3

= tan^{3} (θ)

= - tan (θ) + tan^{3} (θ)

= - tan (θ) + tan^{3} (θ)

= 2 tan (θ) - tan (θ) + tan^{3} (θ)

Sumar elementos similares:

2 tan (θ) - tan (θ) = tan (θ)

= tan (θ) + tan^{3} (θ)

= \frac{tan ( θ ) + tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

= \frac{tan ( θ ) + tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

\frac{tan ( θ ) + tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

Usando el método de sustitución

\frac{tan ( θ ) + tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

Sea:

tan (θ) = u

\frac{u + u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{u + u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0 : u = 0, u = i, u = - i

\frac{u + u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

u + u^{3} = 0

Resolver

u + u^{3} = 0 : u = 0, u = i, u = - i

u + u^{3} = 0

Factorizar

u + u^{3} : u (u^{2} + 1)

u + u^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= u^{2} u + u

Factorizar el termino común

u

= u (u^{2} + 1)

u (u^{2} + 1) = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u = 0 or u^{2} + 1 = 0

Resolver

u^{2} + 1 = 0 : u = i, u = - i

u^{2} + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u^{2} + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u^{2} = - 1

u^{2} = - 1

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = - 1, u = - - 1

Simplificar

- 1 : i

- 1

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= i

Simplificar

- - 1 : - i

- - 1

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= - i

u = i, u = - i

Las soluciones son

u = 0, u = i, u = - i

u = 0, u = i, u = - i

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 1, u = - 1

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{u + u ^{3}}{1 - u ^{2}}

y comparar con cero

Resolver

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Mover

1

al lado derecho

1 - u^{2} = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Simplificar

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

- u^{2} = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Los siguientes puntos no están definidos

u = 1, u = - 1

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 0, u = i, u = - i

Sustituir en la ecuación

u = tan (θ)

tan (θ) = 0, tan (θ) = i, tan (θ) = - i

tan (θ) = 0, tan (θ) = i, tan (θ) = - i

tan (θ) = 0, 0 < θ < 2 π : θ = π

tan (θ) = 0, 0 < θ < 2 π

Soluciones generales para

tan (θ) = 0

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = 0 + πn

θ = 0 + πn

Resolver

θ = 0 + πn : θ = πn

θ = 0 + πn

0 + πn = πn

θ = πn

θ = πn

Soluciones para el rango

0 < θ < 2 π

θ = π

tan (θ) = i, 0 < θ < 2 π :

Sin solución

tan (θ) = i, 0 < θ < 2 π

Soluciones para el rango

0 < θ < 2 π

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

tan (θ) = - i, 0 < θ < 2 π :

Sin solución

tan (θ) = - i, 0 < θ < 2 π

Soluciones para el rango

0 < θ < 2 π

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

θ = π

Ejemplos populares

-8cos(x)=-6sec(x)+8

- 8 cos (x) = - 6 sec (x) + 8

cos(2θ)+sin(θ)=1

cos (2 θ) + sin (θ) = 1

sin(x)-2cos(x)=1

sin (x) - 2 cos (x) = 1

4cos(x)-1=0

4 cos (x) - 1 = 0

sin(2θ)=-1/2 ,0<= θ<2pi

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}, 0 \leq θ < 2 π