English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popolare Trigonometria >

4tanh(x)-1/(cosh(x))=1

Soluzione

4 tanh (x) - \frac{1}{cosh ( x )} = 1

Soluzione

x = ln (\frac{5}{3})

Gradi

x = 29.26815 \dots^{\circ}

Fasi della soluzione

4 tanh (x) - \frac{1}{cosh ( x )} = 1

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

4 tanh (x) - \frac{1}{cosh ( x )} = 1

Usa l'identità iperbolica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

4 tanh (x) - \frac{1}{\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}} = 1

Usa l'identità iperbolica:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

4 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} - \frac{1}{\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}} = 1

4 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} - \frac{1}{\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}} = 1

4 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} - \frac{1}{\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}} = 1 : x = ln (\frac{5}{3})

4 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} - \frac{1}{\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}} = 1

Moltiplica entrambi i lati per

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

4 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - \frac{1}{\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}} \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 1 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

Semplificare

2 (e^{x} - e^{- x}) - 1 = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

Applica le regole dell'esponente

2 (e^{x} - e^{- x}) - 1 = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

2 (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) - 1 = \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2}

2 (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) - 1 = \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2}

Riscrivi l'equazione con

e^{x} = u

2 (u - (u)^{- 1}) - 1 = \frac{u + ( u ) ^{- 1}}{2}

Risolvi

2 (u - u^{- 1}) - 1 = \frac{u + u ^{- 1}}{2} : u = \frac{5}{3}, u = - 1

2 (u - u^{- 1}) - 1 = \frac{u + u ^{- 1}}{2}

Affinare

2 (u - \frac{1}{u}) - 1 = \frac{u ^{2} + 1}{2 u}

Moltiplica entrambi i lati per

2 u

2 (u - \frac{1}{u}) - 1 = \frac{u ^{2} + 1}{2 u}

Moltiplica entrambi i lati per

2 u

2 (u - \frac{1}{u}) \cdot 2 u - 1 \cdot 2 u = \frac{u ^{2} + 1}{2 u} \cdot 2 u

Semplificare

2 (u - \frac{1}{u}) \cdot 2 u - 1 \cdot 2 u = \frac{u ^{2} + 1}{2 u} \cdot 2 u

Semplificare

2 (u - \frac{1}{u}) \cdot 2 u : 4 u (u - \frac{1}{u})

2 (u - \frac{1}{u}) \cdot 2 u

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= 4 u (u - \frac{1}{u})

Semplificare

- 1 \cdot 2 u : - 2 u

- 1 \cdot 2 u

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= - 2 u

Semplificare

\frac{u ^{2} + 1}{2 u} \cdot 2 u : u^{2} + 1

\frac{u ^{2} + 1}{2 u} \cdot 2 u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( u ^{2} + 1 ) \cdot 2 u}{2 u}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{( u ^{2} + 1 ) u}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= u^{2} + 1

4 u (u - \frac{1}{u}) - 2 u = u^{2} + 1

4 u (u - \frac{1}{u}) - 2 u = u^{2} + 1

4 u (u - \frac{1}{u}) - 2 u = u^{2} + 1

Espandere

4 u (u - \frac{1}{u}) - 2 u : 4 u^{2} - 4 - 2 u

4 u (u - \frac{1}{u}) - 2 u

Espandi

4 u (u - \frac{1}{u}) : 4 u^{2} - 4

4 u (u - \frac{1}{u})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 4 u, b = u, c = \frac{1}{u}

= 4 uu - 4 u \frac{1}{u}

= 4 uu - 4 \cdot \frac{1}{u} u

Semplifica

4 uu - 4 \cdot \frac{1}{u} u : 4 u^{2} - 4

4 uu - 4 \cdot \frac{1}{u} u

4 uu = 4 u^{2}

4 uu

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 4 u^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 4 u^{2}

4 \cdot \frac{1}{u} u = 4

4 \cdot \frac{1}{u} u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 u}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= 1 \cdot 4

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 4 = 4

= 4

= 4 u^{2} - 4

= 4 u^{2} - 4

= 4 u^{2} - 4 - 2 u

4 u^{2} - 4 - 2 u = u^{2} + 1

Spostare

4

a destra dell'equazione

4 u^{2} - 4 - 2 u = u^{2} + 1

Aggiungi

4

ad entrambi i lati

4 u^{2} - 4 - 2 u + 4 = u^{2} + 1 + 4

Semplificare

4 u^{2} - 2 u = u^{2} + 5

4 u^{2} - 2 u = u^{2} + 5

Risolvi

4 u^{2} - 2 u = u^{2} + 5 : u = \frac{5}{3}, u = - 1

4 u^{2} - 2 u = u^{2} + 5

Spostare

5

a sinistra dell'equazione

4 u^{2} - 2 u = u^{2} + 5

Sottrarre

5

da entrambi i lati

4 u^{2} - 2 u - 5 = u^{2} + 5 - 5

Semplificare

4 u^{2} - 2 u - 5 = u^{2}

4 u^{2} - 2 u - 5 = u^{2}

Spostare

u^{2}

a sinistra dell'equazione

4 u^{2} - 2 u - 5 = u^{2}

Sottrarre

u^{2}

da entrambi i lati

4 u^{2} - 2 u - 5 - u^{2} = u^{2} - u^{2}

Semplificare

3 u^{2} - 2 u - 5 = 0

3 u^{2} - 2 u - 5 = 0

Risolvi con la formula quadratica

3 u^{2} - 2 u - 5 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 3, b = - 2, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 5 )}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 5 )}{2 \cdot 3}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 3 (- 5) = 8

(- 2)^{2} - 4 \cdot 3 (- 5)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 5

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 3 \cdot 5 = 60

= 2^{2} + 60

2^{2} = 4

= 4 + 60

Aggiungi i numeri:

4 + 60 = 64

= 64

Fattorizzare il numero:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 8}{2 \cdot 3}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 8}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 8}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 2 ) + 8}{2 \cdot 3} : \frac{5}{3}

\frac{- ( - 2 ) + 8}{2 \cdot 3}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2 + 8}{2 \cdot 3}

Aggiungi i numeri:

2 + 8 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{10}{6}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{5}{3}

u = \frac{- ( - 2 ) - 8}{2 \cdot 3} : - 1

\frac{- ( - 2 ) - 8}{2 \cdot 3}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2 - 8}{2 \cdot 3}

Sottrai i numeri:

2 - 8 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 6}{6}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{6}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{5}{3}, u = - 1

u = \frac{5}{3}, u = - 1

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

2 (u - u^{- 1}) - 1

e confrontare con zero

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

\frac{u + u ^{- 1}}{2}

e confrontare con zero

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = \frac{5}{3}, u = - 1

u = \frac{5}{3}, u = - 1

Sostituisci

u = e^{x},

risolvi per

x

Risolvi

e^{x} = \frac{5}{3} : x = ln (\frac{5}{3})

e^{x} = \frac{5}{3}

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = \frac{5}{3}

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5}{3})

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5}{3})

x = ln (\frac{5}{3})

Risolvi

e^{x} = - 1 :

Nessuna soluzione per

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f(x)} non può essere zero o negativo per x\in\mathbb{R}

Nessuna soluzione per x \in R

x = ln (\frac{5}{3})

Verificare le soluzioni:

x = ln (\frac{5}{3})

Vero

Verifica le soluzioni sostituendole in

4 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} - \frac{1}{\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}} = 1

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Inserire in

x = ln (\frac{5}{3}) :

Vero

4 \cdot \frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} - \frac{1}{\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{2}} = 1

4 \cdot \frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} - \frac{1}{\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{2}} = 1

4 \cdot \frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} - \frac{1}{\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{2}}

4 \cdot \frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = \frac{32}{17}

4 \cdot \frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = \frac{8}{17}

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

e^{l n (\frac{5}{3})}

Applica la regola del logaritmo:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{5}{3}

e^{- l n (\frac{5}{3})} = \frac{3}{5}

e^{- l n (\frac{5}{3})}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (\frac{5}{3})})^{- 1}

Applica la regola del logaritmo:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

= (\frac{5}{3})^{- 1}

Applica la regola degli esponenti:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{\frac{5}{3}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{3}{5}

= \frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{\frac{5}{3} + \frac{3}{5}}

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

e^{l n (\frac{5}{3})}

Applica la regola del logaritmo:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{5}{3}

e^{- l n (\frac{5}{3})} = \frac{3}{5}

e^{- l n (\frac{5}{3})}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (\frac{5}{3})})^{- 1}

Applica la regola del logaritmo:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

= (\frac{5}{3})^{- 1}

Applica la regola degli esponenti:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{\frac{5}{3}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{3}{5}

= \frac{\frac{5}{3} - \frac{3}{5}}{\frac{5}{3} + \frac{3}{5}}

Unisci

\frac{5}{3} + \frac{3}{5} : \frac{34}{15}

\frac{5}{3} + \frac{3}{5}

Minimo Comune Multiplo di

3, 5 : 15

3, 5

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

3 : 3

3

3

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 3

Fattorizzazione prima di

5 : 5

5

5

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 5

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 3 o 5

= 3 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 5 = 15

= 15

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

15

Per

\frac{5}{3} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

5

\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{25}{15}

Per

\frac{3}{5} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

3

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}

= \frac{25}{15} + \frac{9}{15}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 + 9}{15}

Aggiungi i numeri:

25 + 9 = 34

= \frac{34}{15}

= \frac{\frac{5}{3} - \frac{3}{5}}{\frac{34}{15}}

Unisci

\frac{5}{3} - \frac{3}{5} : \frac{16}{15}

\frac{5}{3} - \frac{3}{5}

Minimo Comune Multiplo di

3, 5 : 15

3, 5

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

3 : 3

3

3

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 3

Fattorizzazione prima di

5 : 5

5

5

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 5

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 3 o 5

= 3 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 5 = 15

= 15

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

15

Per

\frac{5}{3} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

5

\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{25}{15}

Per

\frac{3}{5} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

3

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}

= \frac{25}{15} - \frac{9}{15}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 - 9}{15}

Sottrai i numeri:

25 - 9 = 16

= \frac{16}{15}

= \frac{\frac{16}{15}}{\frac{34}{15}}

Dividi le frazioni:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{16 \cdot 15}{15 \cdot 34}

Cancella il fattore comune:

15

= \frac{16}{34}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{8}{17}

= 4 \cdot \frac{8}{17}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{8 \cdot 4}{17}

Moltiplica i numeri:

8 \cdot 4 = 32

= \frac{32}{17}

\frac{1}{\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{2}} = \frac{15}{17}

\frac{1}{\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{2}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

e^{l n (\frac{5}{3})}

Applica la regola del logaritmo:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{5}{3}

e^{- l n (\frac{5}{3})} = \frac{3}{5}

e^{- l n (\frac{5}{3})}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (\frac{5}{3})})^{- 1}

Applica la regola del logaritmo:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

= (\frac{5}{3})^{- 1}

Applica la regola degli esponenti:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{\frac{5}{3}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{3}{5}

= \frac{2}{\frac{5}{3} + \frac{3}{5}}

Unisci

\frac{5}{3} + \frac{3}{5} : \frac{34}{15}

\frac{5}{3} + \frac{3}{5}

Minimo Comune Multiplo di

3, 5 : 15

3, 5

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

3 : 3

3

3

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 3

Fattorizzazione prima di

5 : 5

5

5

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 5

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 3 o 5

= 3 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 5 = 15

= 15

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

15

Per

\frac{5}{3} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

5

\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{25}{15}

Per

\frac{3}{5} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

3

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}

= \frac{25}{15} + \frac{9}{15}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 + 9}{15}

Aggiungi i numeri:

25 + 9 = 34

= \frac{34}{15}

= \frac{2}{\frac{34}{15}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 \cdot 15}{34}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 15 = 30

= \frac{30}{34}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{15}{17}

= \frac{32}{17} - \frac{15}{17}

Semplificare

\frac{32}{17} - \frac{15}{17}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{32 - 15}{17}

Sottrai i numeri:

32 - 15 = 17

= \frac{17}{17}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 1

1 = 1

Vero

La soluzione è

x = ln (\frac{5}{3})

x = ln (\frac{5}{3})

Grafico

Esempi popolari

2sin(θ)cos(θ)=sin(θ)

2 sin (θ) cos (θ) = sin (θ)

cos(θ)=-(sqrt(11))/6

cos (θ) = - \frac{11}{6}

sin^2(x)-csc^2(x)=tan^2(x)-cot^2(x)

sin^{2} (x) - csc^{2} (x) = tan^{2} (x) - cot^{2} (x)

sin(x)= 53/54

sin (x) = \frac{53}{54}

2sin^2(x)+sin(x)-3=0

2 sin^{2} (x) + sin (x) - 3 = 0