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Beliebt Trigonometrie >

beweisen tan(135+x)=(tan(x)-1)/(tan(x)+1)

Lösung

beweisen

tan (13 5^{\circ} + x) = \frac{tan ( x ) - 1}{tan ( x ) + 1}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (13 5^{\circ} + x) = \frac{tan ( x ) - 1}{tan ( x ) + 1}

Manipuliere die linke Seite

tan (13 5^{\circ} + x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

tan (13 5^{\circ} + x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 13 5 ^{\circ} + x )}{cos ( 13 5 ^{\circ} + x )}

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( x ) + cos ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( x )}{cos ( 13 5 ^{\circ} + x )}

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= \frac{sin ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( x ) + cos ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( x )}{cos ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( x ) - sin ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( x ) + cos ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( x )}{cos ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( x ) - sin ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( x )} : - \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

\frac{sin ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( x ) + cos ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( x )}{cos ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( x ) - sin ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( x )}

sin (13 5^{\circ}) cos (x) + cos (13 5^{\circ}) sin (x) = \frac{2}{2} cos (x) - \frac{2}{2} sin (x)

sin (13 5^{\circ}) cos (x) + cos (13 5^{\circ}) sin (x)

Vereinfache

sin (13 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

sin (13 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (13 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) + cos (13 5^{\circ}) sin (x)

Vereinfache

cos (13 5^{\circ}) : - \frac{2}{2}

cos (13 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (13 5^{\circ}) = - \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) - \frac{2}{2} sin (x)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) - \frac{2}{2} sin ( x )}{cos ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( x ) - sin ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( x )}

cos (13 5^{\circ}) cos (x) - sin (13 5^{\circ}) sin (x) = - \frac{2}{2} cos (x) - \frac{2}{2} sin (x)

cos (13 5^{\circ}) cos (x) - sin (13 5^{\circ}) sin (x)

Vereinfache

cos (13 5^{\circ}) : - \frac{2}{2}

cos (13 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (13 5^{\circ}) = - \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2} cos (x) - sin (13 5^{\circ}) sin (x)

Vereinfache

sin (13 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

sin (13 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (13 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2} cos (x) - \frac{2}{2} sin (x)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) - \frac{2}{2} sin ( x )}{- \frac{2}{2} cos ( x ) - \frac{2}{2} sin ( x )}

Multipliziere

\frac{2}{2} cos (x) : \frac{2 cos ( x )}{2}

\frac{2}{2} cos (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) - \frac{2}{2} sin ( x )}{- \frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2}{2} sin ( x )}

Multipliziere

\frac{2}{2} sin (x) : \frac{2 sin ( x )}{2}

\frac{2}{2} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) - \frac{2}{2} sin ( x )}{- \frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Multipliziere

\frac{2}{2} cos (x) : \frac{2 cos ( x )}{2}

\frac{2}{2} cos (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2}{2} sin ( x )}{- \frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Multipliziere

\frac{2}{2} sin (x) : \frac{2 sin ( x )}{2}

\frac{2}{2} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}{- \frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{2 cos ( x )}{2} - \frac{2 sin ( x )}{2} : \frac{- 2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}{\frac{- 2 c o s ( x ) - 2 s i n ( x )}{2}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2 cos ( x )}{2} - \frac{2 sin ( x )}{2} : \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x ) - 2 s i n ( x )}{2}}{\frac{- 2 c o s ( x ) - 2 s i n ( x )}{2}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) ) \cdot 2}{2 ( - 2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{- 2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( cos ( x ) - sin ( x ) )}{- 2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}

Klammere gleiche Terme aus

2

= - \frac{2 ( cos ( x ) - sin ( x ) )}{2 ( cos ( x ) + sin ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

= - \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

= - \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

= \frac{- ( cos ( x ) - sin ( x ) )}{cos ( x ) + sin ( x )}

Vereinfache

= \frac{- cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{tan ( x ) - 1}{tan ( x ) + 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 1 + tan ( x )}{1 + tan ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Vereinfache

\frac{- 1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} : \frac{- cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

\frac{- 1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Füge

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

zusammen:

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{c o s ( x ) + s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Füge

- 1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

zusammen:

\frac{- cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

- 1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{- cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{- c o s ( x ) + s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{c o s ( x ) + s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - cos ( x ) + sin ( x ) ) cos ( x )}{cos ( x ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{- cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

= \frac{- cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

= \frac{- cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

sinh(x)= 36/77

sinh (x) = \frac{36}{77}

16cos(θ)=4

16 cos (θ) = 4

-3sin(2x)=5cos(2x)

- 3 sin (2 x) = 5 cos (2 x)

0.001=(sin(θ)*12^2)/(9.81)

0.001 = \frac{sin ( θ ) \cdot 1 2 ^{2}}{9.81}

2-5cos(x)=0

2 - 5 cos (x) = 0