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Popolare Trigonometria >

dimostrare (tan(x)-cot(x))/(tan(x)+cot(x))=1-2cos^2(x)

Soluzione

dimostrare

\frac{tan ( x ) - cot ( x )}{tan ( x ) + cot ( x )} = 1 - 2 cos^{2} (x)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

\frac{tan ( x ) - cot ( x )}{tan ( x ) + cot ( x )} = 1 - 2 cos^{2} (x)

Manipolando il lato sinistro

\frac{tan ( x ) - cot ( x )}{tan ( x ) + cot ( x )}

Esprimere con sen e cos

\frac{- cot ( x ) + tan ( x )}{cot ( x ) + tan ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + tan ( x )}{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + tan ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Semplifica

\frac{- \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} : \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

\frac{- \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Unisci

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Minimo Comune Multiplo di

sin (x), cos (x) : sin (x) cos (x)

sin (x), cos (x)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

sin (x)

cos (x)

= sin (x) cos (x)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

sin (x) cos (x)

Per

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Per

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sin (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{c o s ^{2} ( x ) + s i n ^{2} ( x )}{s i n ( x ) c o s ( x )}}

Unisci

- \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

- \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Minimo Comune Multiplo di

sin (x), cos (x) : sin (x) cos (x)

sin (x), cos (x)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

sin (x)

cos (x)

= sin (x) cos (x)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

sin (x) cos (x)

Per

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Per

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sin (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= - \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{\frac{- c o s ^{2} ( x ) + s i n ^{2} ( x )}{s i n ( x ) c o s ( x )}}{\frac{c o s ^{2} ( x ) + s i n ^{2} ( x )}{s i n ( x ) c o s ( x )}}

Dividi le frazioni:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) sin ( x ) cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x ) ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}

Cancella il fattore comune:

sin (x)

= \frac{( - cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) cos ( x )}{cos ( x ) ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}

Cancella il fattore comune:

cos (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1 - cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + 1 - cos ^{2} ( x )}

Semplifica

\frac{- cos ^{2} ( x ) + 1 - cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + 1 - cos ^{2} ( x )} : - 2 cos^{2} (x) + 1

\frac{- cos ^{2} ( x ) + 1 - cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + 1 - cos ^{2} ( x )}

- cos^{2} (x) + 1 - cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x) + 1

- cos^{2} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= - cos^{2} (x) - cos^{2} (x) + 1

Aggiungi elementi simili:

- cos^{2} (x) - cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x)

= - 2 cos^{2} (x) + 1

= \frac{- 2 cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x ) + 1 - cos ^{2} ( x )}

cos^{2} (x) + 1 - cos^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= cos^{2} (x) - cos^{2} (x) + 1

Aggiungi elementi simili:

cos^{2} (x) - cos^{2} (x) = 0

= 1

= \frac{- 2 cos ^{2} ( x ) + 1}{1}

Applicare la regola

\frac{a}{1} = a

= - 2 cos^{2} (x) + 1

= - 2 cos^{2} (x) + 1

= - 2 cos^{2} (x) + 1

= 1 - 2 cos^{2} (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare (sec^2(θ))/(sec^2(θ)-1)=csc^2(θ)

p ro v e \frac{sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ ) - 1} = csc^{2} (θ)

dimostrare cos(pi-θ)=-cos(θ)

p ro v e cos (π - θ) = - cos (θ)

dimostrare cos^4(θ)-sin^4(θ)=cos(2θ)

p ro v e cos^{4} (θ) - sin^{4} (θ) = cos (2 θ)

dimostrare sin(θ)-sin(θ)cos^2(θ)=sin^3(θ)

p ro v e sin (θ) - sin (θ) cos^{2} (θ) = sin^{3} (θ)

dimostrare csc^4(x)-cot^4(x)=2csc^2(x)-1

p ro v e csc^{4} (x) - cot^{4} (x) = 2 csc^{2} (x) - 1