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Beliebt Trigonometrie >

beweisen tan(2pi-θ)=-tan(θ)

Lösung

beweisen

tan (2 π - θ) = - tan (θ)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (2 π - θ) = - tan (θ)

Manipuliere die linke Seite

tan (2 π - θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

tan (2 π - θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 π - θ )}{cos ( 2 π - θ )}

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( 2 π ) cos ( θ ) - cos ( 2 π ) sin ( θ )}{cos ( 2 π - θ )}

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= \frac{sin ( 2 π ) cos ( θ ) - cos ( 2 π ) sin ( θ )}{cos ( 2 π ) cos ( θ ) + sin ( 2 π ) sin ( θ )}

Vereinfache

\frac{sin ( 2 π ) cos ( θ ) - cos ( 2 π ) sin ( θ )}{cos ( 2 π ) cos ( θ ) + sin ( 2 π ) sin ( θ )} : - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{sin ( 2 π ) cos ( θ ) - cos ( 2 π ) sin ( θ )}{cos ( 2 π ) cos ( θ ) + sin ( 2 π ) sin ( θ )}

sin (2 π) cos (θ) - cos (2 π) sin (θ) = - sin (θ)

sin (2 π) cos (θ) - cos (2 π) sin (θ)

sin (2 π) cos (θ) = 0

sin (2 π) cos (θ)

sin (2 π) = 0

sin (2 π)

sin (2 π) = sin (0)

sin (2 π)

Schreibe

2 π

um:

2 π + 0

= sin (2 π + 0)

Verwende die Periodizität von

sin

sin (x + 2 π) = sin (x)

sin (2 π + 0) = sin (0)

= sin (0)

= sin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (0) = 0

sin (0)

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 0

= 0

= 0 \cdot cos (θ)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

cos (2 π) sin (θ) = sin (θ)

cos (2 π) sin (θ)

cos (2 π) = 1

cos (2 π)

cos (2 π) = cos (0)

cos (2 π)

Schreibe

2 π

um:

2 π + 0

= cos (2 π + 0)

Verwende die Periodizität von

cos

cos (x + 2 π) = cos (x)

cos (2 π + 0) = cos (0)

= cos (0)

= cos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

= 1

= 1 \cdot sin (θ)

Multipliziere:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= sin (θ)

= 0 - sin (θ)

0 - sin (θ) = - sin (θ)

= - sin (θ)

= \frac{- sin ( θ )}{cos ( 2 π ) cos ( θ ) + sin ( 2 π ) sin ( θ )}

cos (2 π) cos (θ) + sin (2 π) sin (θ) = cos (θ)

cos (2 π) cos (θ) + sin (2 π) sin (θ)

cos (2 π) cos (θ) = cos (θ)

cos (2 π) cos (θ)

cos (2 π) = 1

cos (2 π)

cos (2 π) = cos (0)

cos (2 π)

Schreibe

2 π

um:

2 π + 0

= cos (2 π + 0)

Verwende die Periodizität von

cos

cos (x + 2 π) = cos (x)

cos (2 π + 0) = cos (0)

= cos (0)

= cos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

= 1

= 1 \cdot cos (θ)

Multipliziere:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= cos (θ)

sin (2 π) sin (θ) = 0

sin (2 π) sin (θ)

sin (2 π) = 0

sin (2 π)

sin (2 π) = sin (0)

sin (2 π)

Schreibe

2 π

um:

2 π + 0

= sin (2 π + 0)

Verwende die Periodizität von

sin

sin (x + 2 π) = sin (x)

sin (2 π + 0) = sin (0)

= sin (0)

= sin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (0) = 0

sin (0)

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 0

= 0

= 0 \cdot sin (θ)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= cos (θ) + 0

cos (θ) + 0 = cos (θ)

= cos (θ)

= \frac{- sin ( θ )}{cos ( θ )}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= - tan (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin^4(θ)-cos^4(θ)=1-2cos^2(θ)

p ro v e sin^{4} (θ) - cos^{4} (θ) = 1 - 2 cos^{2} (θ)

beweisen (1+tan(x))/(1-tan(x))+(1+cot(x))/(1-cot(x))=0

p ro v e \frac{1 + tan ( x )}{1 - tan ( x )} + \frac{1 + cot ( x )}{1 - cot ( x )} = 0

beweisen cos(4x)=1-8sin^2(x)cos^2(x)

p ro v e cos (4 x) = 1 - 8 sin^{2} (x) cos^{2} (x)

beweisen (sin(x))/(1-cos(-x))=csc(x)+cot(x)

p ro v e \frac{sin ( x )}{1 - cos ( - x )} = csc (x) + cot (x)

beweisen tan(x)-tan(y)=(sin(x-y))/(cos(x)cos(y))

p ro v e tan (x) - tan (y) = \frac{sin ( x - y )}{cos ( x ) cos ( y )}