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provar tan(2x)-2tan(2x)sin^2(x)=sin(2x)

Solução

provar

tan (2 x) - 2 tan (2 x) sin^{2} (x) = sin (2 x)

Verdadeiro

Passos da solução

tan (2 x) - 2 tan (2 x) sin^{2} (x) = sin (2 x)

Manipular o lado direito

tan (2 x) - 2 tan (2 x) sin^{2} (x)

Expresar com seno, cosseno

tan (2 x) - 2 sin^{2} (x) tan (2 x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 2 sin^{2} (x) \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Simplificar

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 2 sin^{2} (x) \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} : \frac{sin ( 2 x ) - 2 sin ^{2} ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 2 sin^{2} (x) \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Multiplicar

2 sin^{2} (x) \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} : \frac{2 sin ^{2} ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

2 sin^{2} (x) \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 2 sin ^{2} ( x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - \frac{2 sin ^{2} ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) - 2 sin ^{2} ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) - 2 sin ^{2} ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) - 2 sin ( 2 x ) sin ^{2} ( x )}{cos ( 2 x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{sin ( 2 x ) - 2 sin ( 2 x ) sin ^{2} ( x )}{cos ( 2 x )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

- 2 sin^{2} (x) = cos (2 x) - 1

= \frac{sin ( 2 x ) + ( cos ( 2 x ) - 1 ) sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Simplificar

\frac{sin ( 2 x ) + ( cos ( 2 x ) - 1 ) sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} : sin (2 x)

\frac{sin ( 2 x ) + ( cos ( 2 x ) - 1 ) sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Fatorar

sin (2 x) + (cos (2 x) - 1) sin (2 x) : sin (2 x) cos (2 x)

sin (2 x) + (cos (2 x) - 1) sin (2 x)

Fatorar o termo comum

sin (2 x)

= sin (2 x) (1 - 1 + cos (2 x))

Simplificar

= sin (2 x) cos (2 x)

= \frac{sin ( 2 x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Eliminar o fator comum:

cos (2 x)

= sin (2 x)

= sin (2 x)

= sin (2 x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e cot^{2} (θ) csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ) = cot^{4} (θ)

p ro v e sin (x - π) = - sin (x)

p ro v e cos (x - \frac{π}{3}) + sin (\frac{π}{6} - x) = cos (x)

p ro v e coth^{2} (x) - 1 = csch^{2} (x)

p ro v e \frac{cos ^{4} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 1 - tan^{2} (x)