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受欢迎的三角函数 >

证明 cos(x-pi/3)+sin(pi/6-x)=cos(x)

解答

证明

cos (x - \frac{π}{3}) + sin (\frac{π}{6} - x) = cos (x)

解答

真

求解步骤

cos (x - \frac{π}{3}) + sin (\frac{π}{6} - x) = cos (x)

调整左侧

cos (x - \frac{π}{3}) + sin (\frac{π}{6} - x)

使用三角恒等式改写

cos (x - \frac{π}{3})

使用角差恒等式:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= cos (x) cos (\frac{π}{3}) + sin (x) sin (\frac{π}{3})

化简

cos (x) cos (\frac{π}{3}) + sin (x) sin (\frac{π}{3}) : \frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x)

cos (x) cos (\frac{π}{3}) + sin (x) sin (\frac{π}{3})

化简

cos (\frac{π}{3}) : \frac{1}{2}

cos (\frac{π}{3})

使用以下普通恒等式:

cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} cos (x) + sin (\frac{π}{3}) sin (x)

化简

sin (\frac{π}{3}) : \frac{3}{2}

sin (\frac{π}{3})

使用以下普通恒等式:

sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{3}{2}

= \frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x)

= \frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x)

= \frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x) + sin (\frac{π}{6} - x)

使用三角恒等式改写

sin (\frac{π}{6} - x)

使用角差恒等式:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= sin (\frac{π}{6}) cos (x) - cos (\frac{π}{6}) sin (x)

化简

sin (\frac{π}{6}) cos (x) - cos (\frac{π}{6}) sin (x) : \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x)

sin (\frac{π}{6}) cos (x) - cos (\frac{π}{6}) sin (x)

化简

sin (\frac{π}{6}) : \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{6})

使用以下普通恒等式:

sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} cos (x) - cos (\frac{π}{6}) sin (x)

化简

cos (\frac{π}{6}) : \frac{3}{2}

cos (\frac{π}{6})

使用以下普通恒等式:

cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

= \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x)

= \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x)

= \frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x)

化简

\frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x) : cos (x)

\frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x)

对同类项分组

= \frac{1}{2} cos (x) + \frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x) - \frac{3}{2} sin (x)

同类项相加:

\frac{1}{2} cos (x) + \frac{1}{2} cos (x) = cos (x)

\frac{1}{2} cos (x) + \frac{1}{2} cos (x)

因式分解出通项

cos (x)

= cos (x) (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

\frac{1}{2} + \frac{1}{2}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 1}{2}

整理后得

= 1

= cos (x)

= cos (x) + \frac{3}{2} sin (x) - \frac{3}{2} sin (x)

同类项相加:

\frac{3}{2} sin (x) - \frac{3}{2} sin (x) = 0

\frac{3}{2} sin (x) - \frac{3}{2} sin (x)

因式分解出通项

sin (x)

= sin (x) (\frac{3}{2} - \frac{3}{2})

\frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0

\frac{3}{2} - \frac{3}{2}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 3}{2}

分解

3 - 3 : 0

3 - 3

因式分解出通项

3

= 3 (1 - 1)

整理后得

= 0

= \frac{0}{2}

使用法则

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

= 0

= cos (x)

= cos (x)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 coth^2(x)-1=csch^2(x)

p ro v e coth^{2} (x) - 1 = csch^{2} (x)

证明 (cos^4(x)-sin^4(x))/(cos^2(x))=1-tan^2(x)

p ro v e \frac{cos ^{4} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 1 - tan^{2} (x)

证明 cot(pi/2-x)=tan(x)

p ro v e cot (\frac{π}{2} - x) = tan (x)

证明 cot^2(x)-csc^2(x)=-1

p ro v e cot^{2} (x) - csc^{2} (x) = - 1

证明 cot(a)sec(a)=csc(a)

p ro v e cot (a) sec (a) = csc (a)