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verificar (cos(θ))/(1+sin(θ))+tan(θ)=sec(θ)

Solución

verificar

\frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )} + tan (θ) = sec (θ)

Solución

Verdadero

Pasos de solución

\frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )} + tan (θ) = sec (θ)

Manipular el lado derecho

\frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )} + tan (θ)

Expresar con seno, coseno

\frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )} + tan (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Simplificar

\frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}{cos ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}

\frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Mínimo común múltiplo de

1 + sin (θ), cos (θ) : cos (θ) (sin (θ) + 1)

1 + sin (θ), cos (θ)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

1 + sin (θ)

cos (θ)

= cos (θ) (sin (θ) + 1)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{( 1 + sin ( θ ) ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}

Para

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (θ) + 1

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}{cos ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )} + \frac{sin ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}{cos ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}{cos ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}{cos ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + ( 1 + sin ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 + sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{cos ^{2} ( θ ) + ( 1 + sin ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 + sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ ) + ( 1 + sin ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 + sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Simplificar

\frac{1 - sin ^{2} ( θ ) + ( 1 + sin ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 + sin ( θ ) ) cos ( θ )} : \frac{1}{cos ( θ )}

\frac{1 - sin ^{2} ( θ ) + ( 1 + sin ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 + sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Expandir

1 - sin^{2} (θ) + (1 + sin (θ)) sin (θ) : sin (θ) + 1

1 - sin^{2} (θ) + (1 + sin (θ)) sin (θ)

= 1 - sin^{2} (θ) + sin (θ) (1 + sin (θ))

Expandir

sin (θ) (1 + sin (θ)) : sin (θ) + sin^{2} (θ)

sin (θ) (1 + sin (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = sin (θ), b = 1, c = sin (θ)

= sin (θ) \cdot 1 + sin (θ) sin (θ)

= 1 \cdot sin (θ) + sin (θ) sin (θ)

Simplificar

1 \cdot sin (θ) + sin (θ) sin (θ) : sin (θ) + sin^{2} (θ)

1 \cdot sin (θ) + sin (θ) sin (θ)

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

1 \cdot sin (θ)

Multiplicar:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= sin (θ)

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Sumar:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= sin (θ) + sin^{2} (θ)

= sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 - sin^{2} (θ) + sin (θ) + sin^{2} (θ)

Simplificar

1 - sin^{2} (θ) + sin (θ) + sin^{2} (θ) : sin (θ) + 1

1 - sin^{2} (θ) + sin (θ) + sin^{2} (θ)

Agrupar términos semejantes

= - sin^{2} (θ) + sin (θ) + sin^{2} (θ) + 1

Sumar elementos similares:

- sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 0

= sin (θ) + 1

= sin (θ) + 1

= \frac{sin ( θ ) + 1}{cos ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}

Eliminar los terminos comunes:

sin (θ) + 1

= \frac{1}{cos ( θ )}

= \frac{1}{cos ( θ )}

= \frac{1}{cos ( θ )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ )}}

Simplificar

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ )}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( θ )}{1}

Aplicar la regla

\frac{a}{1} = a

= sec (θ)

sec (θ)

sec (θ)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar cos(x)*tan(x)=sin(x)verificar

cos (x) \cdot tan (x) = sin (x)

verificar (sin(2θ))/(sin(θ))-(cos(2θ))/(cos(θ))=sec(θ)verificar

\frac{sin ( 2 θ )}{sin ( θ )} - \frac{cos ( 2 θ )}{cos ( θ )} = sec (θ)

verificar (sec(x))/(csc(x))+(sin(x))/(cos(x))=2tan(x)verificar

\frac{sec ( x )}{csc ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 2 tan (x)

verificar (sin(θ)+tan(θ))/(1+sec(θ))=sin(θ)verificar

\frac{sin ( θ ) + tan ( θ )}{1 + sec ( θ )} = sin (θ)

verificar sec(2θ)=(sec^2(θ))/(1-tan^2(θ))verificar

sec (2 θ) = \frac{sec ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}