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provar (1-sin(v))/(cos(v))+(cos(v))/(1-sin(v))=2sec(v)

Solução

provar

\frac{1 - sin ( v )}{cos ( v )} + \frac{cos ( v )}{1 - sin ( v )} = 2 sec (v)

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{1 - sin ( v )}{cos ( v )} + \frac{cos ( v )}{1 - sin ( v )} = 2 sec (v)

Manipular o lado direito

\frac{1 - sin ( v )}{cos ( v )} + \frac{cos ( v )}{1 - sin ( v )}

Simplificar

\frac{1 - sin ( v )}{cos ( v )} + \frac{cos ( v )}{1 - sin ( v )} : \frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2} + cos ^{2} ( v )}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )}

\frac{1 - sin ( v )}{cos ( v )} + \frac{cos ( v )}{1 - sin ( v )}

Mínimo múltiplo comum de

cos (v), 1 - sin (v) : cos (v) (- sin (v) + 1)

cos (v), 1 - sin (v)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

cos (v)

quanto em

1 - sin (v)

= cos (v) (- sin (v) + 1)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{1 - sin ( v )}{cos ( v )} :

multiplique o numerador e o denominador por

- sin (v) + 1

\frac{1 - sin ( v )}{cos ( v )} = \frac{( 1 - sin ( v ) ) ( - sin ( v ) + 1 )}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )} = \frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2}}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )}

Para

\frac{cos ( v )}{1 - sin ( v )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (v)

\frac{cos ( v )}{1 - sin ( v )} = \frac{cos ( v ) cos ( v )}{( 1 - sin ( v ) ) cos ( v )} = \frac{cos ^{2} ( v )}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )}

= \frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2}}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )} + \frac{cos ^{2} ( v )}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2} + cos ^{2} ( v )}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )}

= \frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2} + cos ^{2} ( v )}{( 1 - sin ( v ) ) cos ( v )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2} + cos ^{2} ( v )}{( 1 - sin ( v ) ) cos ( v )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2} + 1 - sin ^{2} ( v )}{( 1 - sin ( v ) ) cos ( v )}

Simplificar

\frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2} + 1 - sin ^{2} ( v )}{( 1 - sin ( v ) ) cos ( v )} : \frac{2}{cos ( v )}

\frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2} + 1 - sin ^{2} ( v )}{( 1 - sin ( v ) ) cos ( v )}

Expandir

(1 - sin (v))^{2} + 1 - sin^{2} (v) : - 2 sin (v) + 2

(1 - sin (v))^{2} + 1 - sin^{2} (v)

(1 - sin (v))^{2} : 1 - 2 sin (v) + sin^{2} (v)

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (v)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (v) + sin^{2} (v)

Simplificar

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (v) + sin^{2} (v) : 1 - 2 sin (v) + sin^{2} (v)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (v) + sin^{2} (v)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot sin (v) + sin^{2} (v)

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 sin (v) + sin^{2} (v)

= 1 - 2 sin (v) + sin^{2} (v)

= 1 - 2 sin (v) + sin^{2} (v) + 1 - sin^{2} (v)

Simplificar

1 - 2 sin (v) + sin^{2} (v) + 1 - sin^{2} (v) : - 2 sin (v) + 2

1 - 2 sin (v) + sin^{2} (v) + 1 - sin^{2} (v)

Agrupar termos semelhantes

= - 2 sin (v) + sin^{2} (v) - sin^{2} (v) + 1 + 1

Somar elementos similares:

sin^{2} (v) - sin^{2} (v) = 0

= - 2 sin (v) + 1 + 1

Somar:

1 + 1 = 2

= - 2 sin (v) + 2

= - 2 sin (v) + 2

= \frac{- 2 sin ( v ) + 2}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )}

Fatorar

- 2 sin (v) + 2 : 2 (- sin (v) + 1)

- 2 sin (v) + 2

Reescrever como

= - 2 sin (v) + 2 \cdot 1

Fatorar o termo comum

2

= 2 (- sin (v) + 1)

= \frac{2 ( - sin ( v ) + 1 )}{( 1 - sin ( v ) ) cos ( v )}

Eliminar o fator comum:

- sin (v) + 1

= \frac{2}{cos ( v )}

= \frac{2}{cos ( v )}

= \frac{2}{cos ( v )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{2}{\frac{1}{s e c ( v )}}

Simplificar

\frac{2}{\frac{1}{s e c ( v )}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 sec ( v )}{1}

Aplicar a regra

\frac{a}{1} = a

= 2 sec (v)

2 sec (v)

2 sec (v)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar 9sec^2(θ)-5tan^2(θ)=5+4sec^2(θ)

p ro v e 9 sec^{2} (θ) - 5 tan^{2} (θ) = 5 + 4 sec^{2} (θ)

provar cot(2θ)=cot(θ)-1/2 sec(θ)csc(θ)

p ro v e cot (2 θ) = cot (θ) - \frac{1}{2} sec (θ) csc (θ)

provar tan(α)+cot(α)=sec(α)csc(α)

p ro v e tan (α) + cot (α) = sec (α) csc (α)

provar (cos(x)-sin(x))^2=1-sin(2x)

p ro v e (cos (x) - sin (x))^{2} = 1 - sin (2 x)

provar cos^2(a)-sin^2(a)=1-2sin^2(a)

p ro v e cos^{2} (a) - sin^{2} (a) = 1 - 2 sin^{2} (a)