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verificar (1-sin(v))/(cos(v))+(cos(v))/(1-sin(v))=2sec(v)

Solución

verificar

\frac{1 - sin ( v )}{cos ( v )} + \frac{cos ( v )}{1 - sin ( v )} = 2 sec (v)

Solución

Verdadero

Pasos de solución

\frac{1 - sin ( v )}{cos ( v )} + \frac{cos ( v )}{1 - sin ( v )} = 2 sec (v)

Manipular el lado derecho

\frac{1 - sin ( v )}{cos ( v )} + \frac{cos ( v )}{1 - sin ( v )}

Simplificar

\frac{1 - sin ( v )}{cos ( v )} + \frac{cos ( v )}{1 - sin ( v )} : \frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2} + cos ^{2} ( v )}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )}

\frac{1 - sin ( v )}{cos ( v )} + \frac{cos ( v )}{1 - sin ( v )}

Mínimo común múltiplo de

cos (v), 1 - sin (v) : cos (v) (- sin (v) + 1)

cos (v), 1 - sin (v)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

cos (v)

1 - sin (v)

= cos (v) (- sin (v) + 1)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1 - sin ( v )}{cos ( v )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

- sin (v) + 1

\frac{1 - sin ( v )}{cos ( v )} = \frac{( 1 - sin ( v ) ) ( - sin ( v ) + 1 )}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )} = \frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2}}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )}

Para

\frac{cos ( v )}{1 - sin ( v )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (v)

\frac{cos ( v )}{1 - sin ( v )} = \frac{cos ( v ) cos ( v )}{( 1 - sin ( v ) ) cos ( v )} = \frac{cos ^{2} ( v )}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )}

= \frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2}}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )} + \frac{cos ^{2} ( v )}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2} + cos ^{2} ( v )}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )}

= \frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2} + cos ^{2} ( v )}{( 1 - sin ( v ) ) cos ( v )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2} + cos ^{2} ( v )}{( 1 - sin ( v ) ) cos ( v )}

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2} + 1 - sin ^{2} ( v )}{( 1 - sin ( v ) ) cos ( v )}

Simplificar

\frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2} + 1 - sin ^{2} ( v )}{( 1 - sin ( v ) ) cos ( v )} : \frac{2}{cos ( v )}

\frac{( 1 - sin ( v ) ) ^{2} + 1 - sin ^{2} ( v )}{( 1 - sin ( v ) ) cos ( v )}

Expandir

(1 - sin (v))^{2} + 1 - sin^{2} (v) : - 2 sin (v) + 2

(1 - sin (v))^{2} + 1 - sin^{2} (v)

(1 - sin (v))^{2} : 1 - 2 sin (v) + sin^{2} (v)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (v)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (v) + sin^{2} (v)

Simplificar

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (v) + sin^{2} (v) : 1 - 2 sin (v) + sin^{2} (v)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (v) + sin^{2} (v)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot sin (v) + sin^{2} (v)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 sin (v) + sin^{2} (v)

= 1 - 2 sin (v) + sin^{2} (v)

= 1 - 2 sin (v) + sin^{2} (v) + 1 - sin^{2} (v)

Simplificar

1 - 2 sin (v) + sin^{2} (v) + 1 - sin^{2} (v) : - 2 sin (v) + 2

1 - 2 sin (v) + sin^{2} (v) + 1 - sin^{2} (v)

Agrupar términos semejantes

= - 2 sin (v) + sin^{2} (v) - sin^{2} (v) + 1 + 1

Sumar elementos similares:

sin^{2} (v) - sin^{2} (v) = 0

= - 2 sin (v) + 1 + 1

Sumar:

1 + 1 = 2

= - 2 sin (v) + 2

= - 2 sin (v) + 2

= \frac{- 2 sin ( v ) + 2}{cos ( v ) ( - sin ( v ) + 1 )}

Factorizar

- 2 sin (v) + 2 : 2 (- sin (v) + 1)

- 2 sin (v) + 2

Reescribir como

= - 2 sin (v) + 2 \cdot 1

Factorizar el termino común

2

= 2 (- sin (v) + 1)

= \frac{2 ( - sin ( v ) + 1 )}{( 1 - sin ( v ) ) cos ( v )}

Eliminar los terminos comunes:

- sin (v) + 1

= \frac{2}{cos ( v )}

= \frac{2}{cos ( v )}

= \frac{2}{cos ( v )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{2}{\frac{1}{s e c ( v )}}

Simplificar

\frac{2}{\frac{1}{s e c ( v )}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 sec ( v )}{1}

Aplicar la regla

\frac{a}{1} = a

= 2 sec (v)

2 sec (v)

2 sec (v)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar sec(θ)-tan(θ)= 1/(sec(θ)+tan(θ))verificar

sec (θ) - tan (θ) = \frac{1}{sec ( θ ) + tan ( θ )}

verificar sec(x)=(1+csc(x))/(cot(x)+cos(x))verificar

sec (x) = \frac{1 + csc ( x )}{cot ( x ) + cos ( x )}

verificar 9sec^2(θ)-5tan^2(θ)=5+4sec^2(θ)verificar

9 sec^{2} (θ) - 5 tan^{2} (θ) = 5 + 4 sec^{2} (θ)

verificar cot(2θ)=cot(θ)-1/2 sec(θ)csc(θ)verificar

cot (2 θ) = cot (θ) - \frac{1}{2} sec (θ) csc (θ)

verificar (csc(x)-cot(x))(csc(x)+cot(x))=1 verificar

(csc (x) - cot (x)) (csc (x) + cot (x)) = 1