zs

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

受欢迎的三角函数 >

证明 cot(2θ)=cot(θ)-1/2 sec(θ)csc(θ)

解答

证明

cot (2 θ) = cot (θ) - \frac{1}{2} sec (θ) csc (θ)

解答

真

求解步骤

cot (2 θ) = cot (θ) - \frac{1}{2} sec (θ) csc (θ)

调整右侧

cot (θ) - \frac{1}{2} sec (θ) csc (θ)

用 sin, cos 表示

cot (θ) - csc (θ) \frac{1}{2} sec (θ)

使用基本三角恒等式:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - csc (θ) \frac{1}{2} sec (θ)

使用基本三角恒等式:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{2} sec (θ)

使用基本三角恒等式:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

化简

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} : \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} = \frac{1}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

分式相乘:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{sin ( θ ) \cdot 2 cos ( θ )}

数字相乘:

1 \cdot 1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{1}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

sin (θ), sin (θ) 2 cos (θ)

的最小公倍数:

2 sin (θ) cos (θ)

sin (θ), sin (θ) \cdot 2 cos (θ)

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

sin (θ)

或

sin (θ) 2 cos (θ)

中的因子组成的表达式

= 2 sin (θ) cos (θ)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

2 sin (θ) cos (θ)

对于

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

将分母和分子乘以

2 cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) \cdot 2 cos ( θ )}{sin ( θ ) \cdot 2 cos ( θ )} = \frac{2 cos ^{2} ( θ )}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{2 cos ^{2} ( θ )}{2 sin ( θ ) cos ( θ )} - \frac{1}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{- 1 + 2 cos ^{2} ( θ )}{2 cos ( θ ) sin ( θ )}

使用三角恒等式改写

\frac{- 1 + 2 cos ^{2} ( θ )}{2 cos ( θ ) sin ( θ )}

使用倍角公式:

2 cos^{2} (x) - 1 = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 θ )}{2 cos ( θ ) sin ( θ )}

使用倍角公式:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

= \frac{cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

使用基本三角恒等式:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (2 θ)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 tan(α)+cot(α)=sec(α)csc(α)

p ro v e tan (α) + cot (α) = sec (α) csc (α)

证明 (cos(x)-sin(x))^2=1-sin(2x)

p ro v e (cos (x) - sin (x))^{2} = 1 - sin (2 x)

证明 cos^2(a)-sin^2(a)=1-2sin^2(a)

p ro v e cos^{2} (a) - sin^{2} (a) = 1 - 2 sin^{2} (a)

证明 tan(u)cot(u)-sin^2(u)=cos^2(u)

p ro v e tan (u) cot (u) - sin^{2} (u) = cos^{2} (u)

证明 sin(pi/4)=(sqrt(2))/2

p ro v e sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}