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verificar (sin(θ)-cos(θ))^2=1-2sin(θ)cos(θ)

Solución

verificar

(sin (θ) - cos (θ))^{2} = 1 - 2 sin (θ) cos (θ)

Verdadero

Pasos de solución

(sin (θ) - cos (θ))^{2} = 1 - 2 sin (θ) cos (θ)

Manipular el lado derecho

(sin (θ) - cos (θ))^{2}

Expandir

(- cos (θ) + sin (θ))^{2} : cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ) + sin^{2} (θ)

(- cos (θ) + sin (θ))^{2}

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - cos (θ), b = sin (θ)

= (- cos (θ))^{2} + 2 (- cos (θ)) sin (θ) + sin^{2} (θ)

Simplificar

(- cos (θ))^{2} + 2 (- cos (θ)) sin (θ) + sin^{2} (θ) : cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ) + sin^{2} (θ)

(- cos (θ))^{2} + 2 (- cos (θ)) sin (θ) + sin^{2} (θ)

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= (- cos (θ))^{2} - 2 cos (θ) sin (θ) + sin^{2} (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- cos (θ))^{2} = cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ) + sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ) + sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= 1 - 2 cos (θ) sin (θ)

= 1 - 2 cos (θ) sin (θ)

= 1 - 2 sin (θ) cos (θ)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

cot (θ) sin (θ) sec (θ) = 1

cos^{4} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

tan (x) \cdot cos (x) = sin (x)

cos^{2} (x) csc^{2} (x) = csc^{2} (x) - 1

\frac{sin ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )} = tan (θ)