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dimostrare (1+csc(β))/(cot(β)+cos(β))=sec(β)

Soluzione

dimostrare

\frac{1 + csc ( β )}{cot ( β ) + cos ( β )} = sec (β)

Vero

Fasi della soluzione

\frac{1 + csc ( β )}{cot ( β ) + cos ( β )} = sec (β)

Manipolando il lato sinistro

\frac{1 + csc ( β )}{cot ( β ) + cos ( β )}

Esprimere con sen e cos

\frac{1 + csc ( β )}{cos ( β ) + cot ( β )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{s i n ( β )}}{cos ( β ) + cot ( β )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{s i n ( β )}}{cos ( β ) + \frac{c o s ( β )}{s i n ( β )}}

Semplifica

\frac{1 + \frac{1}{s i n ( β )}}{cos ( β ) + \frac{c o s ( β )}{s i n ( β )}} : \frac{1}{cos ( β )}

\frac{1 + \frac{1}{s i n ( β )}}{cos ( β ) + \frac{c o s ( β )}{s i n ( β )}}

Unisci

cos (β) + \frac{cos ( β )}{sin ( β )} : \frac{cos ( β ) sin ( β ) + cos ( β )}{sin ( β )}

cos (β) + \frac{cos ( β )}{sin ( β )}

Converti l'elemento in frazione:

cos (β) = \frac{cos ( β ) sin ( β )}{sin ( β )}

= \frac{cos ( β ) sin ( β )}{sin ( β )} + \frac{cos ( β )}{sin ( β )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( β ) sin ( β ) + cos ( β )}{sin ( β )}

= \frac{1 + \frac{1}{s i n ( β )}}{\frac{c o s ( β ) s i n ( β ) + c o s ( β )}{s i n ( β )}}

Unisci

1 + \frac{1}{sin ( β )} : \frac{sin ( β ) + 1}{sin ( β )}

1 + \frac{1}{sin ( β )}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 sin ( β )}{sin ( β )}

= \frac{1 \cdot sin ( β )}{sin ( β )} + \frac{1}{sin ( β )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( β ) + 1}{sin ( β )}

Moltiplicare:

1 \cdot sin (β) = sin (β)

= \frac{sin ( β ) + 1}{sin ( β )}

= \frac{\frac{s i n ( β ) + 1}{s i n ( β )}}{\frac{c o s ( β ) s i n ( β ) + c o s ( β )}{s i n ( β )}}

Dividi le frazioni:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( sin ( β ) + 1 ) sin ( β )}{sin ( β ) ( cos ( β ) sin ( β ) + cos ( β ) )}

Cancella il fattore comune:

sin (β)

= \frac{sin ( β ) + 1}{cos ( β ) sin ( β ) + cos ( β )}

Fattorizzare dal termine comune

cos (β)

= \frac{sin ( β ) + 1}{cos ( β ) ( sin ( β ) + 1 )}

Cancella il fattore comune:

sin (β) + 1

= \frac{1}{cos ( β )}

= \frac{1}{cos ( β )}

= \frac{1}{cos ( β )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

Usare l'identità trigonometrica di base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( β )}}

Semplificare

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( β )}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( β )}{1}

Applicare la regola

\frac{a}{1} = a

= sec (β)

sec (β)

sec (β)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

(1 - cos (b)) (1 + cos (b)) = \frac{1}{csc ^{2} ( b )}

sin (θ - \frac{π}{2}) = cos (π + θ)

\frac{1}{cot ( θ )} = \frac{sec ^{2} ( θ ) - 1}{tan ( θ )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x ) + 1} = sec (x) - tan (x)

tan (- 7) = tan (π - 7)