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beweisen sin(x+2pi)=sin(x)

Lösung

beweisen

sin (x + 2 π) = sin (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (x + 2 π) = sin (x)

Manipuliere die linke Seite

sin (x + 2 π)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x + 2 π)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (x) cos (2 π) + cos (x) sin (2 π)

Vereinfache

sin (x) cos (2 π) + cos (x) sin (2 π) : sin (x)

sin (x) cos (2 π) + cos (x) sin (2 π)

sin (x) cos (2 π) = sin (x)

sin (x) cos (2 π)

cos (2 π) = 1

cos (2 π)

cos (2 π) = cos (0)

cos (2 π)

Schreibe

2 π

um:

2 π + 0

= cos (2 π + 0)

Verwende die Periodizität von

cos

cos (x + 2 π) = cos (x)

cos (2 π + 0) = cos (0)

= cos (0)

= cos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

= 1

= 1 \cdot sin (x)

Multipliziere:

sin (x) \cdot 1 = sin (x)

= sin (x)

cos (x) sin (2 π) = 0

cos (x) sin (2 π)

sin (2 π) = 0

sin (2 π)

sin (2 π) = sin (0)

sin (2 π)

Schreibe

2 π

um:

2 π + 0

= sin (2 π + 0)

Verwende die Periodizität von

sin

sin (x + 2 π) = sin (x)

sin (2 π + 0) = sin (0)

= sin (0)

= sin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (0) = 0

sin (0)

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 0

= 0

= 0 \cdot cos (x)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= sin (x) + 0

sin (x) + 0 = sin (x)

= sin (x)

= sin (x)

= sin (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{cos ( 3 a ) cos ( 2 a )}{sin ( 3 a ) sin ( 2 a )} = \frac{cot ( 2 a )}{tan ( 3 a )}

p ro v e \frac{1}{cos ^{2} ( θ )} = tan^{2} (θ) + 1

p ro v e \frac{1}{2} (cot (θ) - tan (θ)) = cot (2 θ)

p ro v e sin^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sec ( x ) - 1}{2 sec ( x )}

p ro v e cos (x) - cos (x) = 0