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Populaire Trigonométrie >

prouver 2tan(x)sec(x)csc(x)=2+2tan^2(x)

Solution

prouver

2 tan (x) sec (x) csc (x) = 2 + 2 tan^{2} (x)

Solution

vrai

étapes des solutions

2 tan (x) sec (x) csc (x) = 2 + 2 tan^{2} (x)

En manipulant le côté gauche

2 tan (x) sec (x) csc (x)

Exprimer avec sinus, cosinus

2 csc (x) sec (x) tan (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{sin ( x )} sec (x) tan (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{cos ( x )} tan (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Simplifier

2 \cdot \frac{1}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{1 \cdot 1 \cdot sin ( x ) \cdot 2}{sin ( x ) cos ( x ) cos ( x )}

Annuler le facteur commun :

sin (x)

= \frac{1 \cdot 1 \cdot 2}{cos ( x ) cos ( x )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cos ( x ) cos ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

En manipulant le côté droit

2 + 2 tan^{2} (x)

Factoriser

2 + 2 tan^{2} (x) : 2 (1 + tan^{2} (x))

2 + 2 tan^{2} (x)

Récrire comme

= 2 \cdot 1 + 2 tan^{2} (x)

Factoriser le terme commun

2

= 2 (1 + tan^{2} (x))

= (1 + tan^{2} (x)) \cdot 2

Exprimer avec sinus, cosinus

(1 + tan^{2} (x)) \cdot 2

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) \cdot 2

Simplifier

(1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) \cdot 2 : \frac{2 ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{cos ^{2} ( x )}

(1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) \cdot 2

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 2 (\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 1)

Relier

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multiplier:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= 2 \cdot \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

Simplifier

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver sin^2(b)csc^2(b)-sin^2(b)=cos^2(b)

p ro v e sin^{2} (b) csc^{2} (b) - sin^{2} (b) = cos^{2} (b)

prouver cot(pi-x)=-cot(x)

p ro v e cot (π - x) = - cot (x)

prouver (csc(B))/(tan(B)+cot(B))=cos(B)

p ro v e \frac{csc ( B )}{tan ( B ) + cot ( B )} = cos (B)

prouver sin((17pi)/2+x)=cos(x)

p ro v e sin (\frac{17 π}{2} + x) = cos (x)

prouver csc(-x)-sin(-x)=cos(-x)cot(-x)

p ro v e csc (- x) - sin (- x) = cos (- x) cot (- x)