English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Phổ biến Lượng giác >

chứng minh sin(α)=(2tan(α/2))/(1+tan^2(α/2))

Lời Giải

chứng minh

sin (α) = \frac{2 tan ( \frac{α}{2} )}{1 + tan ^{2} ( \frac{α}{2} )}

Lời Giải

Đ \overset{u}{ˊ} ng

Các bước giải pháp

sin (α) = \frac{2 tan ( \frac{α}{2} )}{1 + tan ^{2} ( \frac{α}{2} )}

Cho:

u = \frac{α}{2}

sin (2 u) = \frac{2 tan ( u )}{1 + tan ^{2} ( u )}

Chứng minh

sin (2 u) = \frac{2 tan ( u )}{1 + tan ^{2} ( u )} :

Đúng

sin (2 u) = \frac{2 tan ( u )}{1 + tan ^{2} ( u )}

Thao tác bên phải

\frac{2 tan ( u )}{1 + tan ^{2} ( u )}

Biểu diễn dưới dạng sin, cos

\frac{2 tan ( u )}{1 + tan ^{2} ( u )}

Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2 \cdot \frac{s i n ( u )}{c o s ( u )}}{1 + ( \frac{s i n ( u )}{c o s ( u )} ) ^{2}}

Rút gọn

\frac{2 \cdot \frac{s i n ( u )}{c o s ( u )}}{1 + ( \frac{s i n ( u )}{c o s ( u )} ) ^{2}} : \frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}

\frac{2 \cdot \frac{s i n ( u )}{c o s ( u )}}{1 + ( \frac{s i n ( u )}{c o s ( u )} ) ^{2}}

Áp dụng quy tắc số mũ:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{2 \cdot \frac{s i n ( u )}{c o s ( u )}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( u )}{c o s ^{2} ( u )}}

Nhân

2 \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )} : \frac{2 sin ( u )}{cos ( u )}

2 \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Nhân phân số:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( u ) \cdot 2}{cos ( u )}

= \frac{\frac{2 s i n ( u )}{c o s ( u )}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( u )}{c o s ^{2} ( u )}}

Áp dụng quy tắc phân số:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{sin ( u ) \cdot 2}{cos ( u ) ( 1 + \frac{s i n ^{2} ( u )}{c o s ^{2} ( u )} )}

Hợp

1 + \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )} : \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

1 + \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Chuyển phần tử thành phân số:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )} + \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Nhân:

1 \cdot cos^{2} (u) = cos^{2} (u)

= \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{2 sin ( u )}{\frac{c o s ^{2} ( u ) + s i n ^{2} ( u )}{c o s ^{2} ( u )} cos ( u )}

Nhân

cos (u) \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )} : \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ( u )}

cos (u) \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Nhân phân số:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u ) ) cos ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Triệt tiêu thừa số chung:

cos (u)

= \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ( u )}

= \frac{2 sin ( u )}{\frac{c o s ^{2} ( u ) + s i n ^{2} ( u )}{c o s ( u )}}

Áp dụng quy tắc phân số:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{sin ( u ) \cdot 2 cos ( u )}{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}

= \frac{2 cos ( u ) sin ( u )}{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}

= \frac{2 cos ( u ) sin ( u )}{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}

Viết lại bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lượng giác

\frac{2 cos ( u ) sin ( u )}{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}

Sử dụng công thức góc nhân đôi:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{sin ( 2 u )}{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}

Sử dụng hằng đẳng thức Pitago:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{sin ( 2 u )}{1}

Áp dụng quy tắc

\frac{a}{1} = a

= sin (2 u)

= sin (2 u)

Chúng tôi đã cho thấy rằng hai bên có thể có cùng một dạng

\Rightarrow Đ \overset{u}{ˊ} ng

Do đó

sin (α) = \frac{2 tan ( \frac{α}{2} )}{1 + tan ^{2} ( \frac{α}{2} )}

Chúng tôi đã cho thấy rằng hai bên có thể có cùng một dạng

\Rightarrow Đ \overset{u}{ˊ} ng

Ví dụ phổ biến

chứng minh (1+sin(x))(1-sin(x))= 1/(sec^2(x))

p ro v e (1 + sin (x)) (1 - sin (x)) = \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

chứng minh sin(3x)cos(2x)-cos(3x)sin(2x)=sin(x)

p ro v e sin (3 x) cos (2 x) - cos (3 x) sin (2 x) = sin (x)

chứng minh cos^2(2x)=1-sin^2(2x)

p ro v e cos^{2} (2 x) = 1 - sin^{2} (2 x)

chứng minh sin^2(x)sec(x)=(sin(x))/(cot(x))

p ro v e sin^{2} (x) sec (x) = \frac{sin ( x )}{cot ( x )}

chứng minh sec(x)=sin(x)(cot(x)+tan(x))

p ro v e sec (x) = sin (x) (cot (x) + tan (x))