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verificar cos(4θ)=1-8sin^2(θ)cos^2(θ)

Solución

verificar

cos (4 θ) = 1 - 8 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Verdadero

Pasos de solución

cos (4 θ) = 1 - 8 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Manipular el lado derecho

cos (4 θ)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos (4 θ)

= cos (2 \cdot 2 θ)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (2 θ)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 1 - 2 (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

Simplificar

1 - 2 (2 sin (θ) cos (θ))^{2} : 1 - 8 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

1 - 2 (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

2 (2 sin (θ) cos (θ))^{2} = 2^{3} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

2 (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

(2 sin (θ) cos (θ))^{2} = 2^{2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

(2 sin (θ) cos (θ))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

= 2^{2} \cdot 2 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2 \cdot 2^{2} = 2^{1 + 2}

= 2^{1 + 2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Sumar:

1 + 2 = 3

= 2^{3} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

= 1 - 2^{3} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

2^{3} = 8

= 1 - 8 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

= 1 - 8 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

= 1 - 8 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

tan^{2} (x) - sin^{2} (x) = (tan (x) sin (x))^{2}

cos^{2} (θ) = sin^{2} (θ) - 1

\frac{sec ( θ )}{sec ( θ ) - 1} = \frac{1}{1 - cos ( θ )}

2 cos (θ) - \frac{cos ( 2 θ )}{cos ( θ )} = sec (θ)

cos (2 \cdot 30) = cos^{2} (30) - sin^{2} (30)