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verificar (cos(θ))/(sec(θ)+tan(θ))=1-sin(θ)

Solución

verificar

\frac{cos ( θ )}{sec ( θ ) + tan ( θ )} = 1 - sin (θ)

Verdadero

Pasos de solución

\frac{cos ( θ )}{sec ( θ ) + tan ( θ )} = 1 - sin (θ)

Manipular el lado derecho

\frac{cos ( θ )}{sec ( θ ) + tan ( θ )}

Expresar con seno, coseno

\frac{cos ( θ )}{sec ( θ ) + tan ( θ )}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{\frac{1}{c o s ( θ )} + tan ( θ )}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{\frac{1}{c o s ( θ )} + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Simplificar

\frac{cos ( θ )}{\frac{1}{c o s ( θ )} + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}} : \frac{cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{\frac{1}{c o s ( θ )} + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{\frac{1 + s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{1 + sin ( θ )}

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

Sumar:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Simplificar

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )} : - sin (θ) + 1

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Factorizar

1 - sin^{2} (θ) : - (sin (θ) + 1) (sin (θ) - 1)

1 - sin^{2} (θ)

Factorizar el termino común

- 1

= - (sin^{2} (θ) - 1)

Factorizar

sin^{2} (θ) - 1 : (sin (θ) + 1) (sin (θ) - 1)

sin^{2} (θ) - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= sin^{2} (θ) - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (θ) - 1^{2} = (sin (θ) + 1) (sin (θ) - 1)

= (sin (θ) + 1) (sin (θ) - 1)

= - (sin (θ) + 1) (sin (θ) - 1)

= - \frac{( sin ( θ ) + 1 ) ( sin ( θ ) - 1 )}{1 + sin ( θ )}

Eliminar los terminos comunes:

sin (θ) + 1

= - (sin (θ) - 1)

Negar

- (sin (θ) - 1) = - sin (θ) + 1

= - sin (θ) + 1

= - sin (θ) + 1

= - sin (θ) + 1

= 1 - sin (θ)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

\frac{sec ( θ )}{tan ( θ ) + cot ( θ )} = sin (θ)

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} - 2 = 0

sin (θ) = cos^{2} (θ) + cos^{2} (θ) \cdot sin (θ)

sin (a) = tan (a) cos (a)

cos (x) sec (x) - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)