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受欢迎的三角函数 >

证明 (sec^2(y))/(tan(y))=tan(y)+cot(y)

解答

证明

\frac{sec ^{2} ( y )}{tan ( y )} = tan (y) + cot (y)

解答

真

求解步骤

\frac{sec ^{2} ( y )}{tan ( y )} = tan (y) + cot (y)

调整左侧

\frac{sec ^{2} ( y )}{tan ( y )}

用 sin, cos 表示

\frac{sec ^{2} ( y )}{tan ( y )}

使用基本三角恒等式:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( y )} ) ^{2}}{tan ( y )}

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( y )} ) ^{2}}{\frac{s i n ( y )}{c o s ( y )}}

化简

\frac{( \frac{1}{c o s ( y )} ) ^{2}}{\frac{s i n ( y )}{c o s ( y )}} : \frac{1}{cos ( y ) sin ( y )}

\frac{( \frac{1}{c o s ( y )} ) ^{2}}{\frac{s i n ( y )}{c o s ( y )}}

使用分式法则:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( y )} ) ^{2} cos ( y )}{sin ( y )}

(\frac{1}{cos ( y )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( y )}

(\frac{1}{cos ( y )})^{2}

使用指数法则:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( y )}

使用法则

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( y )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( y )} cos ( y )}{sin ( y )}

乘

\frac{1}{cos ^{2} ( y )} cos (y) : \frac{1}{cos ( y )}

\frac{1}{cos ^{2} ( y )} cos (y)

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( y )}{cos ^{2} ( y )}

乘以:

1 \cdot cos (y) = cos (y)

= \frac{cos ( y )}{cos ^{2} ( y )}

约分:

cos (y)

= \frac{1}{cos ( y )}

= \frac{\frac{1}{c o s ( y )}}{sin ( y )}

使用分式法则:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{cos ( y ) sin ( y )}

= \frac{1}{cos ( y ) sin ( y )}

= \frac{1}{cos ( y ) sin ( y )}

调整右侧

tan (y) + cot (y)

用 sin, cos 表示

cot (y) + tan (y)

使用基本三角恒等式:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( y )}{sin ( y )} + tan (y)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( y )}{sin ( y )} + \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

化简

\frac{cos ( y )}{sin ( y )} + \frac{sin ( y )}{cos ( y )} : \frac{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{sin ( y ) cos ( y )}

\frac{cos ( y )}{sin ( y )} + \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

sin (y), cos (y)

的最小公倍数:

sin (y) cos (y)

sin (y), cos (y)

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

sin (y)

或

cos (y)

中的因子组成的表达式

= sin (y) cos (y)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

sin (y) cos (y)

对于

\frac{cos ( y )}{sin ( y )} :

将分母和分子乘以

cos (y)

\frac{cos ( y )}{sin ( y )} = \frac{cos ( y ) cos ( y )}{sin ( y ) cos ( y )} = \frac{cos ^{2} ( y )}{sin ( y ) cos ( y )}

对于

\frac{sin ( y )}{cos ( y )} :

将分母和分子乘以

sin (y)

\frac{sin ( y )}{cos ( y )} = \frac{sin ( y ) sin ( y )}{cos ( y ) sin ( y )} = \frac{sin ^{2} ( y )}{sin ( y ) cos ( y )}

= \frac{cos ^{2} ( y )}{sin ( y ) cos ( y )} + \frac{sin ^{2} ( y )}{sin ( y ) cos ( y )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{sin ( y ) cos ( y )}

= \frac{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{sin ( y ) cos ( y )}

= \frac{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{cos ( y ) sin ( y )}

使用三角恒等式改写

\frac{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{cos ( y ) sin ( y )}

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ( y ) sin ( y )}

= \frac{1}{cos ( y ) sin ( y )}

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 cos(6x)=1-2sin^2(3x)

p ro v e cos (6 x) = 1 - 2 sin^{2} (3 x)

证明 tan(x-360)=tan(x)

p ro v e tan (x - 36 0^{\circ}) = tan (x)

证明 cos^2(x)-1=-sin^2(x)

p ro v e cos^{2} (x) - 1 = - sin^{2} (x)

证明 ((1-cos(-x)))/(sec(-x)-1)=cos(x)

p ro v e \frac{( 1 - cos ( - x ) )}{sec ( - x ) - 1} = cos (x)

证明 1-cot^2(θ)=2-csc^2(θ)

p ro v e 1 - cot^{2} (θ) = 2 - csc^{2} (θ)