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beweisen cos(θ)cot(θ)= 1/(sin(θ))-sin(θ)

Lösung

beweisen

cos (θ) cot (θ) = \frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (θ) cot (θ) = \frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ)

Manipuliere die linke Seite

cos (θ) cot (θ)

Drücke mit sin, cos aus

cos (θ) cot (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= cos (θ) \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Vereinfache

cos (θ) \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

cos (θ) \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ )}

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Multipliziere aus

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )} : \frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ)

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{1}{sin ( θ )} - \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )} - \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Streiche

\frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )} : sin (θ)

\frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (θ)

= sin (θ)

= \frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ)

= \frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 1 - cos (θ) sin (θ) tan (θ) = cos^{2} (θ)

p ro v e \frac{1 - sin ^{2} ( A )}{1 - cos ^{2} ( A )} = cot^{2} (A)

p ro v e \frac{sin ( 6 0 ^{\circ} )}{cos ( 6 0 ^{\circ} )} = tan (6 0^{\circ})

p ro v e \frac{tan ( x ) \cdot cot ( x )}{csc ( x )} = sin (x)

p ro v e \frac{1}{1 + cot ^{2} ( a )} = sin^{2} (a)