English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

prove (1-cos(a))/(1+cos(a))=tan^2(a/2)

الحلّ

prove

\frac{1 - cos ( a )}{1 + cos ( a )} = tan^{2} (\frac{a}{2})

الحلّ

صحيح

خطوات الحلّ

\frac{1 - cos ( a )}{1 + cos ( a )} = tan^{2} (\frac{a}{2})

u = \frac{a}{2} :

على افتراض أنّ

\frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )} = tan^{2} (u)

\frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )} = tan^{2} (u)

أثبت أنّ:

صحيح

\frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )} = tan^{2} (u)

قم بالعمل على الطرف الأيسر

\frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Rewrite using trig identities

\frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

:فعّل متطابقة الزاوية المضاعفة

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( u )}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( u )}

بسّط:

\frac{sin ^{2} ( u )}{- sin ^{2} ( u ) + 1}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( u )}

1 + 1 = 2 :

اجمع الأعداد

= \frac{1 - ( - 2 sin ^{2} ( u ) + 1 )}{- 2 sin ^{2} ( u ) + 2}

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

وسٌع:

2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

افتح أقواس

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

فعّل قوانين سالب-موجب

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{- 2 sin ^{2} ( u ) + 2}

- 2 sin^{2} (u) + 2

حلل إلى عوامل:

2 (- sin^{2} (u) + 1)

- 2 sin^{2} (u) + 2

أعد الكتابة كـ

= - 2 sin^{2} (u) + 2 \cdot 1

2

قم باخراج العامل المشترك

= 2 (- sin^{2} (u) + 1)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{2 ( - sin ^{2} ( u ) + 1 )}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= \frac{sin ^{2} ( u )}{( - sin ^{2} ( u ) + 1 )}

(- a) = - a

:احذف الأقواس

= \frac{sin ^{2} ( u )}{- sin ^{2} ( u ) + 1}

= \frac{sin ^{2} ( u )}{- sin ^{2} ( u ) + 1}

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

:فعّل نطريّة فيتاغوروس

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Rewrite using trig identities

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

:Use the basic trigonometric identity

\frac{sin ( u ) tan ( u )}{cos ( u )}

= tan (u) \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

:Use the basic trigonometric identity

tan (u) tan (u)

tan (u) tan (u)

بسّط:

tan^{2} (u)

tan (u) tan (u)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:فعّل قانون القوى

tan (u) tan (u) = tan^{1 + 1} (u)

= tan^{1 + 1} (u)

1 + 1 = 2 :

اجمع الأعداد

= tan^{2} (u)

tan^{2} (u)

tan^{2} (u)

أظهرنا بأنّ الطرفين من الممكن أن تكون لهما نفس الصورة

\Rightarrow صحيح

\frac{1 - cos ( a )}{1 + cos ( a )} = tan^{2} (\frac{a}{2})

لذلك

أظهرنا بأنّ الطرفين من الممكن أن تكون لهما نفس الصورة

\Rightarrow صحيح

أمثلة شائعة

prove csc^2(x)-cos(x)sec(x)=cot^2(x)

p ro v e csc^{2} (x) - cos (x) sec (x) = cot^{2} (x)

prove (csc(x)+1)/(cot(x)+cos(x))=sec(x)

p ro v e \frac{csc ( x ) + 1}{cot ( x ) + cos ( x )} = sec (x)

prove csc^2(θ/2)= 2/(1-cos(θ))

p ro v e csc^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( θ )}

prove sec(x)cos(x)+tan^2(x)=sec^2(x)

p ro v e sec (x) cos (x) + tan^{2} (x) = sec^{2} (x)

prove cot^2(θ)+1= 1/(sin^2(θ))

p ro v e cot^{2} (θ) + 1 = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}