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Popular Trigonometria >

provar tan(11/12 pi)=tan(-pi/(12))

Solução

provar

tan (\frac{11}{12} π) = tan (- \frac{π}{12})

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

tan (\frac{11}{12} π) = tan (- \frac{π}{12})

Manipular o lado direito

tan (\frac{11}{12} π)

Simplificar

tan (\frac{11}{12} π) : - 2 + 3

tan (\frac{11}{12} π)

Multiplicar

\frac{11}{12} π : \frac{11 π}{12}

\frac{11}{12} π

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{11 π}{12}

= tan (\frac{11 π}{12})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

\frac{tan ( \frac{7 π}{12} ) + tan ( \frac{π}{3} )}{1 - tan ( \frac{7 π}{12} ) tan ( \frac{π}{3} )}

tan (\frac{11 π}{12})

Escrever

tan (\frac{11 π}{12})

como

tan (\frac{7 π}{12} + \frac{π}{3})

= tan (\frac{7 π}{12} + \frac{π}{3})

Use a identidade de soma de ângulos:

tan (s + t) = \frac{tan ( s ) + tan ( t )}{1 - tan ( s ) tan ( t )}

= \frac{tan ( \frac{7 π}{12} ) + tan ( \frac{π}{3} )}{1 - tan ( \frac{7 π}{12} ) tan ( \frac{π}{3} )}

= \frac{tan ( \frac{7 π}{12} ) + tan ( \frac{π}{3} )}{1 - tan ( \frac{7 π}{12} ) tan ( \frac{π}{3} )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

tan (\frac{7 π}{12}) = - 2 - 3

tan (\frac{7 π}{12})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

\frac{tan ( \frac{π}{3} ) + tan ( \frac{π}{4} )}{1 - tan ( \frac{π}{3} ) tan ( \frac{π}{4} )}

tan (\frac{7 π}{12})

Escrever

tan (\frac{7 π}{12})

como

tan (\frac{π}{3} + \frac{π}{4})

= tan (\frac{π}{3} + \frac{π}{4})

Use a identidade de soma de ângulos:

tan (s + t) = \frac{tan ( s ) + tan ( t )}{1 - tan ( s ) tan ( t )}

= \frac{tan ( \frac{π}{3} ) + tan ( \frac{π}{4} )}{1 - tan ( \frac{π}{3} ) tan ( \frac{π}{4} )}

= \frac{tan ( \frac{π}{3} ) + tan ( \frac{π}{4} )}{1 - tan ( \frac{π}{3} ) tan ( \frac{π}{4} )}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

tan (\frac{π}{3}) = 3

tan (\frac{π}{3})

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 3

Utilizar a seguinte identidade trivial:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

= \frac{3 + 1}{1 - 3 \cdot 1}

Simplificar

\frac{3 + 1}{1 - 3 \cdot 1} : - 2 - 3

\frac{3 + 1}{1 - 3 \cdot 1}

Multiplicar:

3 \cdot 1 = 3

= \frac{3 + 1}{1 - 3}

Racionalizar

\frac{3 + 1}{1 - 3} : - 2 - 3

\frac{3 + 1}{1 - 3}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{1 + 3}{1 + 3}

= \frac{( 3 + 1 ) ( 1 + 3 )}{( 1 - 3 ) ( 1 + 3 )}

(3 + 1) (1 + 3) = 4 + 23

(3 + 1) (1 + 3)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

(3 + 1) (1 + 3) = (3 + 1)^{1 + 1}

= (3 + 1)^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= (3 + 1)^{2}

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 3, b = 1

= (3)^{2} + 23 \cdot 1 + 1^{2}

Simplificar

(3)^{2} + 23 \cdot 1 + 1^{2} : 4 + 23

(3)^{2} + 23 \cdot 1 + 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (3)^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 3 + 1

(3)^{2} = 3

(3)^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 3

23 \cdot 1 = 23

23 \cdot 1

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 23

= 3 + 23 + 1

Somar:

3 + 1 = 4

= 4 + 23

= 4 + 23

(1 - 3) (1 + 3) = - 2

(1 - 3) (1 + 3)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = 3

= 1^{2} - (3)^{2}

Simplificar

1^{2} - (3)^{2} : - 2

1^{2} - (3)^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - (3)^{2}

(3)^{2} = 3

(3)^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 3

= 1 - 3

Subtrair:

1 - 3 = - 2

= - 2

= - 2

= \frac{4 + 2 3}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 + 2 3}{2}

Cancelar

\frac{4 + 2 3}{2} : 2 + 3

\frac{4 + 2 3}{2}

Fatorar

4 + 23 : 2 (2 + 3)

4 + 23

Reescrever como

= 2 \cdot 2 + 23

Fatorar o termo comum

2

= 2 (2 + 3)

= \frac{2 ( 2 + 3 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 2 + 3

= - (2 + 3)

Colocar os parênteses

= - (2) - (3)

Aplicar as regras dos sinais

+ (- a) = - a

= - 2 - 3

= - 2 - 3

= - 2 - 3

Utilizar a seguinte identidade trivial:

tan (\frac{π}{3}) = 3

tan (\frac{π}{3})

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 3

= \frac{- 2 - 3 + 3}{1 - ( - 2 - 3 ) 3}

Simplificar

\frac{- 2 - 3 + 3}{1 - ( - 2 - 3 ) 3} : - 2 + 3

\frac{- 2 - 3 + 3}{1 - ( - 2 - 3 ) 3}

Somar elementos similares:

- 3 + 3 = 0

= \frac{- 2}{1 - 3 ( - 2 - 3 )}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{1 - ( - 2 - 3 ) 3}

Expandir

1 - (- 2 - 3) 3 : 4 + 23

1 - (- 2 - 3) 3

= 1 - 3 (- 2 - 3)

Expandir

- 3 (- 2 - 3) : 23 + 3

- 3 (- 2 - 3)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = - 2, c = 3

= - 3 (- 2) - (- 3) 3

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a

= 23 + 33

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

33 = 3

= 23 + 3

= 1 + 23 + 3

Somar:

1 + 3 = 4

= 4 + 23

= - \frac{2}{4 + 2 3}

Cancelar

\frac{2}{4 + 2 3} : \frac{1}{( 2 + 3 )}

\frac{2}{4 + 2 3}

Fatorar

4 + 23 : 2 (2 + 3)

4 + 23

Reescrever como

= 2 \cdot 2 + 23

Fatorar o termo comum

2

= 2 (2 + 3)

= \frac{2}{2 ( 2 + 3 )}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{1}{( 2 + 3 )}

= - \frac{1}{( 2 + 3 )}

Remover os parênteses:

(a) = a

= - \frac{1}{2 + 3}

Racionalizar

- \frac{1}{2 + 3} : 3 - 2

- \frac{1}{2 + 3}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2 - 3}{2 - 3}

= - \frac{1 \cdot ( 2 - 3 )}{( 2 + 3 ) ( 2 - 3 )}

1 \cdot (2 - 3) = 2 - 3

(2 + 3) (2 - 3) = 1

(2 + 3) (2 - 3)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 2, b = 3

= 2^{2} - (3)^{2}

Simplificar

2^{2} - (3)^{2} : 1

2^{2} - (3)^{2}

2^{2} = 4

2^{2}

2^{2} = 4

= 4

(3)^{2} = 3

(3)^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 3

= 4 - 3

Subtrair:

4 - 3 = 1

= 1

= 1

= - \frac{2 - 3}{1}

Aplicar a regra

\frac{a}{1} = a

= - (2 - 3)

Colocar os parênteses

= - (2) - (- 3)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 + 3

= - 2 + 3

= - 2 + 3

= - 2 + 3

Manipular o lado esquerdo

tan (- \frac{π}{12})

Use a identidade de ângulo negativo:

tan (- x) = - tan (x)

= - tan (\frac{π}{12})

Simplificar

- tan (\frac{π}{12}) : - 2 + 3

- tan (\frac{π}{12})

tan (\frac{π}{12}) = 2 - 3

tan (\frac{π}{12})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

\frac{tan ( \frac{π}{4} ) - tan ( \frac{π}{6} )}{1 + tan ( \frac{π}{4} ) tan ( \frac{π}{6} )}

tan (\frac{π}{12})

Escrever

tan (\frac{π}{12})

como

tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})

= tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})

Use a identidade de diferença de ângulos:

tan (s - t) = \frac{tan ( s ) - tan ( t )}{1 + tan ( s ) tan ( t )}

= \frac{tan ( \frac{π}{4} ) - tan ( \frac{π}{6} )}{1 + tan ( \frac{π}{4} ) tan ( \frac{π}{6} )}

= \frac{tan ( \frac{π}{4} ) - tan ( \frac{π}{6} )}{1 + tan ( \frac{π}{4} ) tan ( \frac{π}{6} )}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

Utilizar a seguinte identidade trivial:

tan (\frac{π}{6}) = \frac{3}{3}

tan (\frac{π}{6})

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= \frac{3}{3}

= \frac{1 - \frac{3}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{3}{3}}

Simplificar

\frac{1 - \frac{3}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{3}{3}} : 2 - 3

\frac{1 - \frac{3}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{3}{3}}

Multiplicar:

1 \cdot \frac{3}{3} = \frac{3}{3}

= \frac{1 - \frac{3}{3}}{1 + \frac{3}{3}}

Simplificar

1 + \frac{3}{3}

em uma fração:

\frac{3 + 1}{3}

1 + \frac{3}{3}

Converter para fração:

1 = \frac{1 \cdot 3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 3 + 3}{3}

Multiplicar os números:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3 + 3}{3}

Fatorar

3 + 3 : 3 (3 + 1)

3 + 3

3 = 33

= 33 + 3

Fatorar o termo comum

3

= 3 (3 + 1)

= \frac{3 ( 3 + 1 )}{3}

Cancelar

\frac{3 ( 3 + 1 )}{3} : \frac{3 + 1}{3}

\frac{3 ( 3 + 1 )}{3}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a = a^{\frac{1}{n}}

3 = 3^{\frac{1}{2}}

= \frac{3 ^{\frac{1}{2}} ( 1 + 3 )}{3}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{1}} = \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{3 + 1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Subtrair:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{3 + 1}{3 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a^{\frac{1}{n}} = n a

3^{\frac{1}{2}} = 3

= \frac{3 + 1}{3}

= \frac{3 + 1}{3}

= \frac{1 - \frac{3}{3}}{\frac{3 + 1}{3}}

Simplificar

1 - \frac{3}{3}

em uma fração:

\frac{3 - 1}{3}

1 - \frac{3}{3}

Converter para fração:

1 = \frac{1 \cdot 3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3} - \frac{3}{3}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 3 - 3}{3}

Multiplicar os números:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3 - 3}{3}

Fatorar

3 - 3 : 3 (3 - 1)

3 - 3

3 = 33

= 33 - 3

Fatorar o termo comum

3

= 3 (3 - 1)

= \frac{3 ( 3 - 1 )}{3}

Cancelar

\frac{3 ( 3 - 1 )}{3} : \frac{3 - 1}{3}

\frac{3 ( 3 - 1 )}{3}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a = a^{\frac{1}{n}}

3 = 3^{\frac{1}{2}}

= \frac{3 ^{\frac{1}{2}} ( 3 - 1 )}{3}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{1}} = \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{3 - 1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Subtrair:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{3 - 1}{3 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a^{\frac{1}{n}} = n a

3^{\frac{1}{2}} = 3

= \frac{3 - 1}{3}

= \frac{3 - 1}{3}

= \frac{\frac{3 - 1}{3}}{\frac{3 + 1}{3}}

Dividir frações:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 3 - 1 ) 3}{3 ( 3 + 1 )}

Eliminar o fator comum:

3

= \frac{3 - 1}{3 + 1}

Racionalizar

\frac{3 - 1}{3 + 1} : 2 - 3

\frac{3 - 1}{3 + 1}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{3 - 1}{3 - 1}

= \frac{( 3 - 1 ) ( 3 - 1 )}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )}

(3 - 1) (3 - 1) = 4 - 23

(3 - 1) (3 - 1)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

(3 - 1) (3 - 1) = (3 - 1)^{1 + 1}

= (3 - 1)^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= (3 - 1)^{2}

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 3, b = 1

= (3)^{2} - 23 \cdot 1 + 1^{2}

Simplificar

(3)^{2} - 23 \cdot 1 + 1^{2} : 4 - 23

(3)^{2} - 23 \cdot 1 + 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (3)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 3 + 1

(3)^{2} = 3

(3)^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 3

23 \cdot 1 = 23

23 \cdot 1

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 23

= 3 - 23 + 1

Somar:

3 + 1 = 4

= 4 - 23

= 4 - 23

(3 + 1) (3 - 1) = 2

(3 + 1) (3 - 1)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 3, b = 1

= (3)^{2} - 1^{2}

Simplificar

(3)^{2} - 1^{2} : 2

(3)^{2} - 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (3)^{2} - 1

(3)^{2} = 3

(3)^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 3

= 3 - 1

Subtrair:

3 - 1 = 2

= 2

= 2

= \frac{4 - 2 3}{2}

Fatorar

4 - 23 : 2 (2 - 3)

4 - 23

Reescrever como

= 2 \cdot 2 - 23

Fatorar o termo comum

2

= 2 (2 - 3)

= \frac{2 ( 2 - 3 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 2 - 3

= 2 - 3

= 2 - 3

= - (2 - 3)

Simplificar

- (2 - 3)

Colocar os parênteses

= - (2) - (- 3)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 + 3

= - 2 + 3

= - 2 + 3

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar cot(B)sec(B)sin(B)=1

p ro v e cot (B) sec (B) sin (B) = 1

provar (cos(x)-tan(x))/(sin(x)-cot(x))=-1

p ro v e \frac{cos ( x ) - tan ( x )}{sin ( x ) - cot ( x )} = - 1

provar (1+cot(x))/(csc(x))=sin(x)cos(x)

p ro v e \frac{1 + cot ( x )}{csc ( x )} = sin (x) cos (x)

provar sin^2(θ-α)=cos(θ)

p ro v e sin^{2} (θ - α) = cos (θ)

provar cos(2x)cos(2x)=cos^2(2x)

p ro v e cos (2 x) cos (2 x) = cos^{2} (2 x)