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受欢迎的三角函数 >

sec^2(x)<= 4/3

解答

sec^{2} (x) \leq \frac{4}{3}

解答

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

+2

间隔符号

[- \frac{π}{6} + 2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn] \cup [\frac{5 π}{6} + 2 πn, \frac{7 π}{6} + 2 πn]

十进制

- 0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 0.52359 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn \leq x \leq 3.66519 \dots + 2 πn

求解步骤

sec^{2} (x) \leq \frac{4}{3}

用 sin, cos 表示

sec^{2} (x) \leq \frac{4}{3}

使用基本三角恒等式:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} \leq \frac{4}{3}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} \leq \frac{4}{3}

对于

u^{n} \leq a

，若

n

为偶数，则

- n a \leq u \leq n a

- \frac{4}{3} \leq \frac{1}{cos ( x )} \leq \frac{4}{3}

若

a \leq u \leq b

，则

a \leq u and u \leq b

- \frac{4}{3} \leq \frac{1}{cos ( x )} and \frac{1}{cos ( x )} \leq \frac{4}{3}

- \frac{4}{3} \leq \frac{1}{cos ( x )} : cos (x) \leq - \frac{3}{2} or cos (x) > 0

- \frac{4}{3} \leq \frac{1}{cos ( x )}

交换两边

\frac{1}{cos ( x )} \geq - \frac{4}{3}

改写为标准形式

\frac{1}{cos ( x )} \geq - \frac{4}{3}

两边加上

\frac{4}{3}

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{4}{3} \geq - \frac{4}{3} + \frac{4}{3}

化简

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{4}{3} \geq - \frac{4}{3} + \frac{4}{3}

化简

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{4}{3} : \frac{1}{cos ( x )} + \frac{2}{3}

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{4}{3}

\frac{4}{3} = \frac{2}{3}

\frac{4}{3}

使用根式运算法则:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

假定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{4}{3}

4 = 2

4

因式分解数字:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2}{3}

= \frac{1}{cos ( x )} + \frac{2}{3}

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{2}{3} \geq 0

化简

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{2}{3} : \frac{3 ( 3 + 2 cos ( x ) )}{3 cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{2}{3}

cos (x), 3

的最小公倍数:

3 cos (x)

cos (x), 3

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

cos (x)

或

3

中的因子组成的表达式

= 3 cos (x)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

3 cos (x)

对于

\frac{1}{cos ( x )} :

将分母和分子乘以

3

\frac{1}{cos ( x )} = \frac{1 \cdot 3}{cos ( x ) 3} = \frac{3}{3 cos ( x )}

对于

\frac{2}{3} :

将分母和分子乘以

cos (x)

\frac{2}{3} = \frac{2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

= \frac{3}{3 cos ( x )} + \frac{2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 + 2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

\frac{3 + 2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

有理化:

\frac{3 ( 2 cos ( x ) + 3 )}{3 cos ( x )}

\frac{3 + 2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

乘以共轭根式

\frac{3}{3}

= \frac{( 3 + 2 cos ( x ) ) 3}{3 cos ( x ) 3}

3 cos (x) 3 = 3 cos (x)

3 cos (x) 3

使用根式运算法则:

a a = a

33 = 3

= 3 cos (x)

= \frac{3 ( 3 + 2 cos ( x ) )}{3 cos ( x )}

= \frac{3 ( 2 cos ( x ) + 3 )}{3 cos ( x )}

\frac{3 ( 3 + 2 cos ( x ) )}{3 cos ( x )} \geq 0

化简

\frac{3}{3} : \frac{1}{3}

\frac{3}{3}

使用根式运算法则:

n a = a^{\frac{1}{n}}

3 = 3^{\frac{1}{2}}

= \frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3}

使用指数法则:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{1}} = \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

数字相减:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{1}{3 ^{\frac{1}{2}}}

使用根式运算法则:

a^{\frac{1}{n}} = n a

3^{\frac{1}{2}} = 3

= \frac{1}{3}

\frac{3 ( 3 + 2 cos ( x ) )}{3 cos ( x )} \geq 0

在两边乘以

3

\frac{3 ( 3 + 2 cos ( x ) ) 3}{3 cos ( x )} \geq 0 \cdot 3

化简

\frac{3 + 2 cos ( x )}{cos ( x )} \geq 0

\frac{3 + 2 cos ( x )}{cos ( x )} \geq 0

确定区间

确定

\frac{3 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

符号

确定

3 + 2 cos (x)

符号

3 + 2 cos (x) = 0 : cos (x) = - \frac{3}{2}

3 + 2 cos (x) = 0

将

3

到右边

3 + 2 cos (x) = 0

两边减去

3

3 + 2 cos (x) - 3 = 0 - 3

化简

2 cos (x) = - 3

2 cos (x) = - 3

两边除以

2

2 cos (x) = - 3

两边除以

2

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{- 3}{2}

化简

cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = - \frac{3}{2}

3 + 2 cos (x) < 0 : cos (x) < - \frac{3}{2}

3 + 2 cos (x) < 0

将

3

到右边

3 + 2 cos (x) < 0

两边减去

3

3 + 2 cos (x) - 3 < 0 - 3

化简

2 cos (x) < - 3

2 cos (x) < - 3

两边除以

2

2 cos (x) < - 3

两边除以

2

\frac{2 cos ( x )}{2} < \frac{- 3}{2}

化简

cos (x) < - \frac{3}{2}

cos (x) < - \frac{3}{2}

3 + 2 cos (x) > 0 : cos (x) > - \frac{3}{2}

3 + 2 cos (x) > 0

将

3

到右边

3 + 2 cos (x) > 0

两边减去

3

3 + 2 cos (x) - 3 > 0 - 3

化简

2 cos (x) > - 3

2 cos (x) > - 3

两边除以

2

2 cos (x) > - 3

两边除以

2

\frac{2 cos ( x )}{2} > \frac{- 3}{2}

化简

cos (x) > - \frac{3}{2}

cos (x) > - \frac{3}{2}

确定

cos (x)

符号

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

找到奇点

找到分母的零解

cos (x) : cos (x) = 0

总结如下表：

3 + 2 cos (x) cos (x) \frac{3 + 2 c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < - \frac{3}{2} - - + cos (x) = - \frac{3}{2} 0 - 0 - \frac{3}{2} < cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 未定义 cos (x) > 0 + + +

确定满足所需条件的区间：

\geq 0

cos (x) < - \frac{3}{2} or cos (x) = - \frac{3}{2} or cos (x) > 0

合并重叠的区间

cos (x) \leq - \frac{3}{2} or cos (x) > 0

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

cos (x) < - \frac{3}{2}

or

cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) \leq - \frac{3}{2}

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

cos (x) \leq - \frac{3}{2}

or

cos (x) > 0

cos (x) \leq - \frac{3}{2} or cos (x) > 0

cos (x) \leq - \frac{3}{2} or cos (x) > 0

cos (x) \leq - \frac{3}{2} or cos (x) > 0

\frac{1}{cos ( x )} \leq \frac{4}{3} : cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{3}{2}

\frac{1}{cos ( x )} \leq \frac{4}{3}

改写为标准形式

\frac{1}{cos ( x )} \leq \frac{4}{3}

两边减去

\frac{4}{3}

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{4}{3} \leq \frac{4}{3} - \frac{4}{3}

化简

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{4}{3} \leq \frac{4}{3} - \frac{4}{3}

化简

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{4}{3} : \frac{1}{cos ( x )} - \frac{2}{3}

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{4}{3}

\frac{4}{3} = \frac{2}{3}

\frac{4}{3}

使用根式运算法则:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

假定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{4}{3}

4 = 2

4

因式分解数字:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2}{3}

= \frac{1}{cos ( x )} - \frac{2}{3}

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{2}{3} \leq 0

化简

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{2}{3} : \frac{3 ( 3 - 2 cos ( x ) )}{3 cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{2}{3}

cos (x), 3

的最小公倍数:

3 cos (x)

cos (x), 3

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

cos (x)

或

3

中的因子组成的表达式

= 3 cos (x)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

3 cos (x)

对于

\frac{1}{cos ( x )} :

将分母和分子乘以

3

\frac{1}{cos ( x )} = \frac{1 \cdot 3}{cos ( x ) 3} = \frac{3}{3 cos ( x )}

对于

\frac{2}{3} :

将分母和分子乘以

cos (x)

\frac{2}{3} = \frac{2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

= \frac{3}{3 cos ( x )} - \frac{2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

\frac{3 - 2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

有理化:

\frac{3 ( - 2 cos ( x ) + 3 )}{3 cos ( x )}

\frac{3 - 2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

乘以共轭根式

\frac{3}{3}

= \frac{( 3 - 2 cos ( x ) ) 3}{3 cos ( x ) 3}

3 cos (x) 3 = 3 cos (x)

3 cos (x) 3

使用根式运算法则:

a a = a

33 = 3

= 3 cos (x)

= \frac{3 ( 3 - 2 cos ( x ) )}{3 cos ( x )}

= \frac{3 ( - 2 cos ( x ) + 3 )}{3 cos ( x )}

\frac{3 ( 3 - 2 cos ( x ) )}{3 cos ( x )} \leq 0

化简

\frac{3}{3} : \frac{1}{3}

\frac{3}{3}

使用根式运算法则:

n a = a^{\frac{1}{n}}

3 = 3^{\frac{1}{2}}

= \frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3}

使用指数法则:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{1}} = \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

数字相减:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{1}{3 ^{\frac{1}{2}}}

使用根式运算法则:

a^{\frac{1}{n}} = n a

3^{\frac{1}{2}} = 3

= \frac{1}{3}

\frac{3 ( 3 - 2 cos ( x ) )}{3 cos ( x )} \leq 0

在两边乘以

3

\frac{3 ( 3 - 2 cos ( x ) ) 3}{3 cos ( x )} \leq 0 \cdot 3

化简

\frac{3 - 2 cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

\frac{3 - 2 cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

确定区间

确定

\frac{3 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

符号

确定

3 - 2 cos (x)

符号

3 - 2 cos (x) = 0 : cos (x) = \frac{3}{2}

3 - 2 cos (x) = 0

将

3

到右边

3 - 2 cos (x) = 0

两边减去

3

3 - 2 cos (x) - 3 = 0 - 3

化简

- 2 cos (x) = - 3

- 2 cos (x) = - 3

两边除以

- 2

- 2 cos (x) = - 3

两边除以

- 2

\frac{- 2 cos ( x )}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}

化简

cos (x) = \frac{3}{2}

cos (x) = \frac{3}{2}

3 - 2 cos (x) < 0 : cos (x) > \frac{3}{2}

3 - 2 cos (x) < 0

将

3

到右边

3 - 2 cos (x) < 0

两边减去

3

3 - 2 cos (x) - 3 < 0 - 3

化简

- 2 cos (x) < - 3

- 2 cos (x) < - 3

在两边乘以

- 1

- 2 cos (x) < - 3

两边乘以 -1（不等式变号）

(- 2 cos (x)) (- 1) > (- 3) (- 1)

化简

2 cos (x) > 3

2 cos (x) > 3

两边除以

2

2 cos (x) > 3

两边除以

2

\frac{2 cos ( x )}{2} > \frac{3}{2}

化简

cos (x) > \frac{3}{2}

cos (x) > \frac{3}{2}

3 - 2 cos (x) > 0 : cos (x) < \frac{3}{2}

3 - 2 cos (x) > 0

将

3

到右边

3 - 2 cos (x) > 0

两边减去

3

3 - 2 cos (x) - 3 > 0 - 3

化简

- 2 cos (x) > - 3

- 2 cos (x) > - 3

在两边乘以

- 1

- 2 cos (x) > - 3

两边乘以 -1（不等式变号）

(- 2 cos (x)) (- 1) < (- 3) (- 1)

化简

2 cos (x) < 3

2 cos (x) < 3

两边除以

2

2 cos (x) < 3

两边除以

2

\frac{2 cos ( x )}{2} < \frac{3}{2}

化简

cos (x) < \frac{3}{2}

cos (x) < \frac{3}{2}

确定

cos (x)

符号

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

找到奇点

找到分母的零解

cos (x) : cos (x) = 0

总结如下表：

3 - 2 cos (x) cos (x) \frac{3 - 2 c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 未定义 0 < cos (x) < \frac{3}{2} + + + cos (x) = \frac{3}{2} 0 + 0 cos (x) > \frac{3}{2} - + -

确定满足所需条件的区间：

\leq 0

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{3}{2} or cos (x) > \frac{3}{2}

合并重叠的区间

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{3}{2} or cos (x) > \frac{3}{2}

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

cos (x) < 0

or

cos (x) = \frac{3}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{3}{2}

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{3}{2}

or

cos (x) > \frac{3}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{3}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{3}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{3}{2}

合并区间

(cos (x) \leq - \frac{3}{2} or cos (x) > 0) and (cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{3}{2})

合并重叠的区间

cos (x) \leq - \frac{3}{2} or cos (x) > 0 and cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{3}{2}

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

cos (x) \leq - \frac{3}{2} or cos (x) > 0

and

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{3}{2}

cos (x) \leq - \frac{3}{2} or cos (x) \geq \frac{3}{2}

cos (x) \leq - \frac{3}{2} or cos (x) \geq \frac{3}{2}

cos (x) \leq - \frac{3}{2} : \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

cos (x) \leq - \frac{3}{2}

对于

cos (x) \leq a

，若

- 1 < a < 1

，则

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{3}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- \frac{3}{2}) + 2 πn

化简

arccos (- \frac{3}{2}) : \frac{5 π}{6}

arccos (- \frac{3}{2})

使用以下普通恒等式:

arccos (- \frac{3}{2}) = \frac{5 π}{6}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{5 π}{6}

化简

2 π - arccos (- \frac{3}{2}) : \frac{7 π}{6}

2 π - arccos (- \frac{3}{2})

使用以下普通恒等式:

arccos (- \frac{3}{2}) = \frac{5 π}{6}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{5 π}{6}

化简

2 π - \frac{5 π}{6}

将项转换为分式:

2 π = \frac{2 π 6}{6}

= \frac{2 π 6}{6} - \frac{5 π}{6}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 6 - 5 π}{6}

2 π 6 - 5 π = 7 π

2 π 6 - 5 π

数字相乘:

2 \cdot 6 = 12

= 12 π - 5 π

同类项相加:

12 π - 5 π = 7 π

= 7 π

= \frac{7 π}{6}

= \frac{7 π}{6}

\frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{3}{2} : - \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{3}{2}

对于

cos (x) \geq a

，若

- 1 < a < 1

，则

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{3}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{3}{2}) + 2 πn

化简

- arccos (\frac{3}{2}) : - \frac{π}{6}

- arccos (\frac{3}{2})

使用以下普通恒等式:

arccos (\frac{3}{2}) = \frac{π}{6}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{6}

化简

arccos (\frac{3}{2}) : \frac{π}{6}

arccos (\frac{3}{2})

使用以下普通恒等式:

arccos (\frac{3}{2}) = \frac{π}{6}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

合并区间

\frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or - \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

合并重叠的区间

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

流行的例子

cos(x)>(sqrt(3))/2

cos (x) > \frac{3}{2}

sin^{2} (x) < \frac{1}{2}

sin (x) \leq 1

tan (x) \geq 0

sin(x)+cos(x)>0

sin (x) + cos (x) > 0