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tan^2(x)-3tan(x)-4<0

Solución

tan^{2} (x) - 3 tan (x) - 4 < 0

Solución

πn \leq x < arctan (4) + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < π + πn

Notación de intervalos

[πn, arctan (4) + πn) \cup (\frac{3 π}{4} + πn, π + πn)

Notación decimal

πn \leq x < 1.32581 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn < x < 3.14159 \dots + πn

Pasos de solución

tan^{2} (x) - 3 tan (x) - 4 < 0

Sea:

u = tan (x)

u^{2} - 3 u - 4 < 0

u^{2} - 3 u - 4 < 0 : - 1 < u < 4

u^{2} - 3 u - 4 < 0

Factorizar

u^{2} - 3 u - 4 : (u + 1) (u - 4)

u^{2} - 3 u - 4

Factorizar la expresión

u^{2} - 3 u - 4

Definición

Factores de

4 : 1, 2, 4

4

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

4 : 2, 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2

Agregar factores primos:

2

Agregar 1 y su propio número

4

1, 4

Divisores de

4

1, 2, 4

Factores negativos de

4 : - 1, - 2, - 4

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2, - 4

Por cada dos factores tales que

u * v = - 4,

revisar si

u + v = - 3

Revisar

u = 1, v = - 4 : u * v = - 4, u + v = - 3 \Rightarrow

VerdaderoRevisar

u = 2, v = - 2 : u * v = - 4, u + v = 0 \Rightarrow

Falso

u = 1, v = - 4

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} + u) + (- 4 u - 4)

= (u^{2} + u) + (- 4 u - 4)

Factorizar

u

u^{2} + u

u (u + 1)

u^{2} + u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu + u

Factorizar el termino común

u

= u (u + 1)

Factorizar

- 4

- 4 u - 4

- 4 (u + 1)

- 4 u - 4

Factorizar el termino común

- 4

= - 4 (u + 1)

= u (u + 1) - 4 (u + 1)

Factorizar el termino común

u + 1

= (u + 1) (u - 4)

(u + 1) (u - 4) < 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(u + 1) (u - 4)

Encontrar los signos de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

u > - 1

u > - 1

Encontrar los signos de

u - 4

u - 4 = 0 : u = 4

u - 4 = 0

Mover

4

al lado derecho

u - 4 = 0

Sumar

4

a ambos lados

u - 4 + 4 = 0 + 4

Simplificar

u = 4

u = 4

u - 4 < 0 : u < 4

u - 4 < 0

Mover

4

al lado derecho

u - 4 < 0

Sumar

4

a ambos lados

u - 4 + 4 < 0 + 4

Simplificar

u < 4

u < 4

u - 4 > 0 : u > 4

u - 4 > 0

Mover

4

al lado derecho

u - 4 > 0

Sumar

4

a ambos lados

u - 4 + 4 > 0 + 4

Simplificar

u > 4

u > 4

Resumir en una tabla:

u + 1 u - 4 (u + 1) (u - 4) u < - 1 - - + u = - 1 0 - 0 - 1 < u < 4 + - - u = 4 + 00 u > 4 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

< 0

- 1 < u < 4

- 1 < u < 4

- 1 < u < 4

Sustituir en la ecuación

u = tan (x)

- 1 < tan (x) < 4

a < u < b

entonces

a < u and u < b

- 1 < tan (x) and tan (x) < 4

- 1 < tan (x) : - \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

- 1 < tan (x)

Intercambiar lados

tan (x) > - 1

tan (x) > a

entonces

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (- 1) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Simplificar

arctan (- 1) : - \frac{π}{4}

arctan (- 1)

Utilizar la siguiente propiedad:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 1) = - arctan (1)

= - arctan (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arctan (1) = \frac{π}{4}

arctan (1)

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

- \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < 4 : - \frac{π}{2} + πn < x < arctan (4) + πn

tan (x) < 4

tan (x) < a

entonces

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (4) + πn

Combinar los rangos

- \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < arctan (4) + πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

πn \leq x < arctan (4) + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < π + πn

Ejemplos populares

cos(x)-sin(x)>= 0

cos (x) - sin (x) \geq 0

sin(x)<-(sqrt(3))/2

sin (x) < - \frac{3}{2}

(sin(x)(2cos(x)+1))/(sin(x)+cos(x))<0

\frac{sin ( x ) ( 2 cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) + cos ( x )} < 0

2sin^2(x)+3sin(x)+1<0

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) + 1 < 0

sin(x)<= 0.5

sin (x) \leq 0.5