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Popular >

cos(2x)<=-sin(x)

Solución

cos (2 x) \leq - sin (x)

Solución

x = \frac{π}{2} + 2 πn or - \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Notación de intervalos

x = \frac{π}{2} + 2 πn \cup [- \frac{5 π}{6} + 2 πn, - \frac{π}{6} + 2 πn]

Notación decimal

x = 1.57079 \dots + 2 πn or - 2.61799 \dots + 2 πn \leq x \leq - 0.52359 \dots + 2 πn

Pasos de solución

cos (2 x) \leq - sin (x)

Mover

sin (x)

al lado izquierdo

cos (2 x) \leq - sin (x)

Sumar

sin (x)

a ambos lados

cos (2 x) + sin (x) \leq - sin (x) + sin (x)

cos (2 x) + sin (x) \leq 0

cos (2 x) + sin (x) \leq 0

Usar la siguiente identidad:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

1 - 2 sin^{2} (x) + sin (x) \leq 0

Sea:

u = sin (x)

1 - 2 u^{2} + u \leq 0

1 - 2 u^{2} + u \leq 0 : u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

1 - 2 u^{2} + u \leq 0

Factorizar

1 - 2 u^{2} + u : - (2 u + 1) (u - 1)

1 - 2 u^{2} + u

Factorizar el termino común

- 1

= - (2 u^{2} - u - 1)

Factorizar

2 u^{2} - u - 1 : (2 u + 1) (u - 1)

2 u^{2} - u - 1

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c

= 2 u^{2} - u - 1

Factorizar la expresión

2 u^{2} - u - 1

Definición

Factores de

2 : 1, 2

2

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Agregar 1

1

Divisores de

2

1, 2

Factores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2

Por cada dos factores tales que

u * v = - 2,

revisar si

u + v = - 1

Revisar

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

VerdaderoRevisar

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Falso

u = 1, v = - 2

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

= (2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

Factorizar

u

2 u^{2} + u

u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Factorizar el termino común

u

= u (2 u + 1)

Factorizar

- 1

- 2 u - 1

- (2 u + 1)

- 2 u - 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - (2 u + 1)

Factorizar el termino común

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 1)

= - (2 u + 1) (u - 1)

- (2 u + 1) (u - 1) \leq 0

Multiplicar ambos lados por

- 1

(invertir la desigualdad)

(- (2 u + 1) (u - 1)) (- 1) \geq 0 \cdot (- 1)

Simplificar

(2 u + 1) (u - 1) \geq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(2 u + 1) (u - 1)

Encontrar los signos de

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

2 u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

2 u < - 1

2 u < - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplificar

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

2 u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

2 u > - 1

2 u > - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplificar

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Encontrar los signos de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Resumir en una tabla:

2 u + 1 u - 1 (2 u + 1) (u - 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\geq 0

u < - \frac{1}{2} or u = - \frac{1}{2} or u = 1 or u > 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

u \leq - \frac{1}{2} or u = 1 or u > 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u < - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

u \leq - \frac{1}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u \leq - \frac{1}{2}

u = 1

u \leq - \frac{1}{2} or u = 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u \leq - \frac{1}{2} or u = 1

u > 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) \leq - \frac{1}{2} or sin (x) \geq 1

sin (x) \leq - \frac{1}{2} : - \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq - \frac{1}{2}

Para

sin (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{5 π}{6}

- π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utilizar la siguiente propiedad:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6})

Simplificar

- π - (- \frac{π}{6})

Aplicar la regla

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{6}

Sumar elementos similares:

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{6}

= - \frac{5 π}{6}

Simplificar

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utilizar la siguiente propiedad:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \geq 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \geq 1

Para

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (1) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (1) + 2 πn

Simplificar

arcsin (1) : \frac{π}{2}

arcsin (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Simplificar

π - arcsin (1) : \frac{π}{2}

π - arcsin (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{2}

Simplificar

π - \frac{π}{2}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 2}{2}

= \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π}{2}

Sumar elementos similares:

2 π - π = π

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Simplificar

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar los rangos

- \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn or x = \frac{π}{2} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

x = \frac{π}{2} + 2 πn or - \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

cos(t)<0

cos (t) < 0

2sin^2(x)-sin(x)-1>0

2 sin^{2} (x) - sin (x) - 1 > 0

cot(x)<0

cot (x) < 0

4cos(x/3+pi/4)+sqrt(12)>= 0

4 cos (\frac{x}{3} + \frac{π}{4}) + 12 \geq 0

cos(2*pi*t)>= 0

cos (2 \cdot π \cdot t) \geq 0