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Popular >

cos^2(x)+(sqrt(2))/2 cos(x)>0

Solución

cos^{2} (x) + \frac{2}{2} cos (x) > 0

Solución

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

Notación de intervalos

(- \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{4} + 2 πn, \frac{5 π}{4} + 2 πn)

Notación decimal

- 1.57079 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 2.35619 \dots + 2 πn < x < 3.92699 \dots + 2 πn

Pasos de solución

cos^{2} (x) + \frac{2}{2} cos (x) > 0

Sea:

u = cos (x)

u^{2} + \frac{2}{2} u > 0

u^{2} + \frac{2}{2} u > 0 : u < - \frac{2}{2} or u > 0

u^{2} + \frac{2}{2} u > 0

Reescribir en la forma estándar

u^{2} + \frac{2}{2} u > 0

Expandir

u^{2} + \frac{2}{2} u : u^{2} + \frac{u}{2}

u^{2} + \frac{2}{2} u

\frac{2}{2} u = \frac{u}{2}

\frac{2}{2} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} u}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{1}} = \frac{1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{u}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Restar:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{u}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{\frac{1}{2}} = 2

= \frac{u}{2}

= u^{2} + \frac{u}{2}

u^{2} + \frac{u}{2} > 0

Multiplicar ambos lados por

2

u^{2} 2 + \frac{u}{2} 2 > 0 \cdot 2

2 u^{2} + u > 0

2 u^{2} + u > 0

Factorizar

2 u^{2} + u : u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Factorizar el termino común

u

= u (2 u + 1)

u (2 u + 1) > 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

u (2 u + 1)

Encontrar los signos de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Encontrar los signos de

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= u

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

2 u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

2 u < - 1

2 u < - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= u

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

2 u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

2 u > - 1

2 u > - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= u

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

Resumir en una tabla:

u 2 u + 1 u (2 u + 1) u < - \frac{2}{2} - - + u = - \frac{2}{2} - 00 - \frac{2}{2} < u < 0 - + - u = 0 0 + 0 u > 0 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

u < - \frac{2}{2} or u > 0

u < - \frac{2}{2} or u > 0

u < - \frac{2}{2} or u > 0

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) < - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

cos (x) < - \frac{2}{2} : \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (x) < - \frac{2}{2}

Para

cos (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Simplificar

arccos (- \frac{2}{2}) : \frac{3 π}{4}

arccos (- \frac{2}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{3 π}{4}

Simplificar

2 π - arccos (- \frac{2}{2}) : \frac{5 π}{4}

2 π - arccos (- \frac{2}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{3 π}{4}

Simplificar

2 π - \frac{3 π}{4}

Convertir a fracción:

2 π = \frac{2 π 4}{4}

= \frac{2 π 4}{4} - \frac{3 π}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 4 - 3 π}{4}

2 π 4 - 3 π = 5 π

2 π 4 - 3 π

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= 8 π - 3 π

Sumar elementos similares:

8 π - 3 π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{4}

= \frac{5 π}{4}

\frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (x) > 0 : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) > 0

Para

cos (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < x < arccos (0) + 2 πn

Simplificar

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

Simplificar

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar los rangos

\frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

Ejemplos populares

sin(x)>= 0.5

sin (x) \geq 0.5

cos(2x)-cos(x)<0

cos (2 x) - cos (x) < 0

sin(3x)-(sqrt(3))/2 >= 0

sin (3 x) - \frac{3}{2} \geq 0

sin(x)<= 1/2 ,0<= x<= 2pi

sin (x) \leq \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 2 π

cos(x-y)>= 0

cos (x - y) \geq 0