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cos(2x)+sin(2x)>= 1

Solución

cos (2 x) + sin (2 x) \geq 1

Solución

πn \leq x \leq \frac{π}{4} + πn

Notación de intervalos

[πn, \frac{π}{4} + πn]

Notación decimal

πn \leq x \leq 0.78539 \dots + πn

Pasos de solución

cos (2 x) + sin (2 x) \geq 1

Usar la siguiente identidad:

cos (x) + sin (x) = 2 sin (\frac{π}{4} + x)

2 sin (\frac{π}{4} + 2 x) \geq 1

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (\frac{π}{4} + 2 x) \geq 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( \frac{π}{4} + 2 x )}{2} \geq \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( \frac{π}{4} + 2 x )}{2} \geq \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( \frac{π}{4} + 2 x )}{2} : sin (\frac{π}{4} + 2 x)

\frac{2 sin ( \frac{π}{4} + 2 x )}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= sin (\frac{π}{4} + 2 x)

Simplificar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4} + 2 x) \geq \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4} + 2 x) \geq \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4} + 2 x) \geq \frac{2}{2}

Para

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq (\frac{π}{4} + 2 x) \leq π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq \frac{π}{4} + 2 x and \frac{π}{4} + 2 x \leq π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq \frac{π}{4} + 2 x : x \geq πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq \frac{π}{4} + 2 x

Intercambiar lados

\frac{π}{4} + 2 x \geq arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : \frac{π}{4} + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4} + 2 πn

\frac{π}{4} + 2 x \geq \frac{π}{4} + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

\frac{π}{4} + 2 x \geq \frac{π}{4} + 2 πn

Restar

\frac{π}{4}

de ambos lados

\frac{π}{4} + 2 x - \frac{π}{4} \geq \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

\frac{π}{4} + 2 x - \frac{π}{4} \geq \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

\frac{π}{4} + 2 x - \frac{π}{4} : 2 x

\frac{π}{4} + 2 x - \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} \geq 0

= 2 x

Simplificar

\frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn

\frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= \frac{π}{4} - \frac{π}{4} + 2 πn

Sumar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= 2 πn

2 x \geq 2 πn

2 x \geq 2 πn

2 x \geq 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x \geq 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} \geq \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x \geq πn

x \geq πn

\frac{π}{4} + 2 x \leq π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : x \leq \frac{π}{4} + πn

\frac{π}{4} + 2 x \leq π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Simplificar

π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : π - \frac{π}{4} + 2 πn

π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{4} + 2 πn

\frac{π}{4} + 2 x \leq π - \frac{π}{4} + 2 πn

Mover

\frac{π}{4}

al lado derecho

\frac{π}{4} + 2 x \leq π - \frac{π}{4} + 2 πn

Restar

\frac{π}{4}

de ambos lados

\frac{π}{4} + 2 x - \frac{π}{4} \leq π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

\frac{π}{4} + 2 x - \frac{π}{4} \leq π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

\frac{π}{4} + 2 x - \frac{π}{4} : 2 x

\frac{π}{4} + 2 x - \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} \leq 0

= 2 x

Simplificar

π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : - \frac{π}{2} + π + 2 πn

π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= - \frac{π}{4} - \frac{π}{4} + π + 2 πn

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

- \frac{π}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π - π}{4}

Sumar elementos similares:

- π - π = - 2 π

= \frac{- 2 π}{4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 π}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2} + π + 2 πn

2 x \leq - \frac{π}{2} + π + 2 πn

2 x \leq - \frac{π}{2} + π + 2 πn

2 x \leq - \frac{π}{2} + π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 x \leq - \frac{π}{2} + π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 x}{2} \leq - \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} \leq - \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

- \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2} : - \frac{π}{4} + \frac{π}{2} + πn

- \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= - \frac{π}{4} + \frac{π}{2} + πn

x \leq - \frac{π}{4} + \frac{π}{2} + πn

x \leq - \frac{π}{4} + \frac{π}{2} + πn

Simplificar

- \frac{π}{4} + \frac{π}{2} : \frac{π}{4}

- \frac{π}{4} + \frac{π}{2}

Mínimo común múltiplo de

4, 2 : 4

4, 2

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

4

2

= 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{2} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{π}{2} = \frac{π 2}{2 \cdot 2} = \frac{π 2}{4}

= - \frac{π}{4} + \frac{π 2}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + π 2}{4}

Sumar elementos similares:

- π + 2 π = π

= \frac{π}{4}

x \leq \frac{π}{4} + πn

x \leq \frac{π}{4} + πn

Combinar los rangos

x \geq πn and x \leq \frac{π}{4} + πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

πn \leq x \leq \frac{π}{4} + πn

Ejemplos populares

tan(β)<0,cos(β)<0

tan (β) < 0, cos (β) < 0

tan(x)+1>0

tan (x) + 1 > 0

csc(θ)>0

csc (θ) > 0

sin(x)cos(x)>1

sin (x) cos (x) > 1

csc(θ)<0

csc (θ) < 0