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tan^3(x)+tan^2(x)-tan(x)-1<= 0

Solución

tan^{3} (x) + tan^{2} (x) - tan (x) - 1 \leq 0

Solución

- \frac{π}{2} + πn < x \leq \frac{π}{4} + πn

Notación de intervalos

(- \frac{π}{2} + πn, \frac{π}{4} + πn]

Notación decimal

- 1.57079 \dots + πn < x \leq 0.78539 \dots + πn

Pasos de solución

tan^{3} (x) + tan^{2} (x) - tan (x) - 1 \leq 0

Sea:

u = tan (x)

u^{3} + u^{2} - u - 1 \leq 0

u^{3} + u^{2} - u - 1 \leq 0 : u \leq 1

u^{3} + u^{2} - u - 1 \leq 0

Factorizar

u^{3} + u^{2} - u - 1 : (u + 1)^{2} (u - 1)

u^{3} + u^{2} - u - 1

= (u^{3} + u^{2}) + (- u - 1)

Factorizar

- 1

- u - 1

- (u + 1)

- u - 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (u + 1)

Factorizar

u^{2}

u^{3} + u^{2}

u^{2} (u + 1)

u^{3} + u^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} + u^{2}

Factorizar el termino común

u^{2}

= u^{2} (u + 1)

= - (u + 1) + u^{2} (u + 1)

Factorizar el termino común

u + 1

= (u + 1) (u^{2} - 1)

Factorizar

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u + 1) (u - 1)

Simplificar

= (u + 1)^{2} (u - 1)

(u + 1)^{2} (u - 1) \leq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(u + 1)^{2} (u - 1)

Encontrar los signos de

(u + 1)^{2}

(u + 1)^{2} = 0 : u = - 1

(u + 1)^{2} = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

Resolver

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

La solución a la ecuación de segundo grado es:

u = - 1

(u + 1)^{2} > 0 : u < - 1 or u > - 1

(u + 1)^{2} > 0

Para

u^{n} > 0

, si

n

es par entonces

u < 0

u > 0

u + 1 < 0 or u + 1 > 0

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

u > - 1

u > - 1

Combinar los rangos

u < - 1 or u > - 1

Encontrar los signos de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Resumir en una tabla:

(u + 1)^{2} u - 1 (u + 1)^{2} (u - 1) u < - 1 + - - u = - 1 0 - 0 - 1 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

u < - 1 or u = - 1 or - 1 < u < 1 or u = 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

u < 1 or u = 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u < - 1

u = - 1

u \leq - 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u \leq - 1

- 1 < u < 1

u < 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u < 1

u = 1

u \leq 1

u \leq 1

u \leq 1

u \leq 1

Sustituir en la ecuación

u = tan (x)

tan (x) \leq 1

tan (x) \leq a

entonces

- \frac{π}{2} + πn < x \leq arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x \leq arctan (1) + πn

Simplificar

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{π}{2} + πn < x \leq \frac{π}{4} + πn

Ejemplos populares

sin(2x-pi/(12))<= (sqrt(2))/2

sin (2 x - \frac{π}{12}) \leq \frac{2}{2}

| pi/3 |<tan(t),-csc(2t)

\frac{π}{3} < tan (t), - csc (2 t)

tan(x)<2

tan (x) < 2

cos(2x+pi/6)<=-1/2

cos (2 x + \frac{π}{6}) \leq - \frac{1}{2}

cos(x/7)<= 1/2

cos (\frac{x}{7}) \leq \frac{1}{2}