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Popular >

6sin^2(x)>4+cos(x)

Solución

6 sin^{2} (x) > 4 + cos (x)

Solución

\frac{π}{3} + 2 πn < x < arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn or - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 π + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Notación de intervalos

(\frac{π}{3} + 2 πn, arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn) \cup (- arccos (- \frac{2}{3}) + 2 π + 2 πn, \frac{5 π}{3} + 2 πn)

Notación decimal

1.04719 \dots + 2 πn < x < 2.30052 \dots + 2 πn or 3.98266 \dots + 2 πn < x < 5.23598 \dots + 2 πn

Pasos de solución

6 sin^{2} (x) > 4 + cos (x)

Mover

cos (x)

al lado izquierdo

6 sin^{2} (x) > 4 + cos (x)

Restar

cos (x)

de ambos lados

6 sin^{2} (x) - cos (x) > 4 + cos (x) - cos (x)

6 sin^{2} (x) - cos (x) > 4

6 sin^{2} (x) - cos (x) > 4

Usar la siguiente identidad:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Por lo tanto

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

6 (1 - cos^{2} (x)) - cos (x) > 4

Sea:

u = cos (x)

6 (1 - u^{2}) - u > 4

6 (1 - u^{2}) - u > 4 : - \frac{2}{3} < u < \frac{1}{2}

6 (1 - u^{2}) - u > 4

Reescribir en la forma estándar

6 (1 - u^{2}) - u > 4

Expandir

6 (1 - u^{2}) - u : 6 - 6 u^{2} - u

6 (1 - u^{2}) - u

Expandir

6 (1 - u^{2}) : 6 - 6 u^{2}

6 (1 - u^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 6, b = 1, c = u^{2}

= 6 \cdot 1 - 6 u^{2}

Multiplicar los numeros:

6 \cdot 1 = 6

= 6 - 6 u^{2}

= 6 - 6 u^{2} - u

6 - 6 u^{2} - u > 4

Restar

4

de ambos lados

6 - 6 u^{2} - u - 4 > 4 - 4

Simplificar

- 6 u^{2} - u + 2 > 0

- 6 u^{2} - u + 2 > 0

Factorizar

- 6 u^{2} - u + 2 : - (2 u - 1) (3 u + 2)

- 6 u^{2} - u + 2

Factorizar el termino común

- 1

= - (6 u^{2} + u - 2)

Factorizar

6 u^{2} + u - 2 : (2 u - 1) (3 u + 2)

6 u^{2} + u - 2

Factorizar la expresión

6 u^{2} + u - 2

Definición

Factores de

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

12 : 2, 2, 3

12

12

divida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los factores primos de

12 : 4, 6

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6

4, 6

Agregar factores primos:

2, 3

Agregar 1 y su propio número

12

1, 12

Divisores de

12

1, 2, 3, 4, 6, 12

Factores negativos de

12 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Por cada dos factores tales que

u * v = - 12,

revisar si

u + v = 1

Revisar

u = 1, v = - 12 : u * v = - 12, u + v = - 11 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = - 6 : u * v = - 12, u + v = - 4 \Rightarrow

Falso

u = 4, v = - 3

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(6 u^{2} - 3 u) + (4 u - 2)

= (6 u^{2} - 3 u) + (4 u - 2)

Factorizar

3 u

6 u^{2} - 3 u

3 u (2 u - 1)

6 u^{2} - 3 u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 6 uu - 3 u

Reescribir

6

como

3 \cdot 2

= 3 \cdot 2 uu - 3 u

Factorizar el termino común

3 u

= 3 u (2 u - 1)

Factorizar

2

4 u - 2

2 (2 u - 1)

4 u - 2

Reescribir

4

como

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 u - 2

Factorizar el termino común

2

= 2 (2 u - 1)

= 3 u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1)

Factorizar el termino común

2 u - 1

= (2 u - 1) (3 u + 2)

= - (2 u - 1) (3 u + 2)

- (2 u - 1) (3 u + 2) > 0

Multiplicar ambos lados por

- 1

(invertir la desigualdad)

(- (2 u - 1) (3 u + 2)) (- 1) < 0 \cdot (- 1)

Simplificar

(2 u - 1) (3 u + 2) < 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(2 u - 1) (3 u + 2)

Encontrar los signos de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Encontrar los signos de

3 u + 2

3 u + 2 = 0 : u = - \frac{2}{3}

3 u + 2 = 0

Mover

2

al lado derecho

3 u + 2 = 0

Restar

2

de ambos lados

3 u + 2 - 2 = 0 - 2

Simplificar

3 u = - 2

3 u = - 2

Dividir ambos lados entre

3

3 u = - 2

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 2}{3}

Simplificar

u = - \frac{2}{3}

u = - \frac{2}{3}

3 u + 2 < 0 : u < - \frac{2}{3}

3 u + 2 < 0

Mover

2

al lado derecho

3 u + 2 < 0

Restar

2

de ambos lados

3 u + 2 - 2 < 0 - 2

Simplificar

3 u < - 2

3 u < - 2

Dividir ambos lados entre

3

3 u < - 2

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 u}{3} < \frac{- 2}{3}

Simplificar

u < - \frac{2}{3}

u < - \frac{2}{3}

3 u + 2 > 0 : u > - \frac{2}{3}

3 u + 2 > 0

Mover

2

al lado derecho

3 u + 2 > 0

Restar

2

de ambos lados

3 u + 2 - 2 > 0 - 2

Simplificar

3 u > - 2

3 u > - 2

Dividir ambos lados entre

3

3 u > - 2

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 u}{3} > \frac{- 2}{3}

Simplificar

u > - \frac{2}{3}

u > - \frac{2}{3}

Resumir en una tabla:

2 u - 1 3 u + 2 (2 u - 1) (3 u + 2) u < - \frac{2}{3} - - + u = - \frac{2}{3} - 00 - \frac{2}{3} < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

< 0

- \frac{2}{3} < u < \frac{1}{2}

- \frac{2}{3} < u < \frac{1}{2}

- \frac{2}{3} < u < \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

- \frac{2}{3} < cos (x) < \frac{1}{2}

a < u < b

entonces

a < u and u < b

- \frac{2}{3} < cos (x) and cos (x) < \frac{1}{2}

- \frac{2}{3} < cos (x) : - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn < x < arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

- \frac{2}{3} < cos (x)

Intercambiar lados

cos (x) > - \frac{2}{3}

Para

cos (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn < x < arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

cos (x) < \frac{1}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) < \frac{1}{2}

Para

cos (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

Simplificar

2 π - arccos (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{3}

2 π - arccos (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{3}

Simplificar

2 π - \frac{π}{3}

Convertir a fracción:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{π}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - π}{3}

2 π 3 - π = 5 π

2 π 3 - π

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - π

Sumar elementos similares:

6 π - π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar los rangos

- arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn < x < arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn and \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{3} + 2 πn < x < arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn or - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 π + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Ejemplos populares

sin(2t)>=-1/2

sin (2 t) \geq - \frac{1}{2}

cos^2(x)-cos(x)-2>= 0

cos^{2} (x) - cos (x) - 2 \geq 0

7cos^2(x)-5cos(x)+sin^2(x)<= 0

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

cos(-x)<0

cos (- x) < 0

sin(x^2)>= 0

sin (x^{2}) \geq 0