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sec(x)<= 2/(sqrt(3))

Solución

sec (x) \leq \frac{2}{3}

Solución

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Notación de intervalos

[- \frac{π}{6} + 2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn] \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

Notación decimal

- 0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 0.52359 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn

Pasos de solución

sec (x) \leq \frac{2}{3}

Expresar con seno, coseno

sec (x) \leq \frac{2}{3}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} \leq \frac{2}{3}

\frac{1}{cos ( x )} \leq \frac{2}{3}

Reescribir en la forma estándar

\frac{1}{cos ( x )} \leq \frac{2}{3}

Restar

\frac{2}{3}

de ambos lados

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{2}{3} \leq \frac{2}{3} - \frac{2}{3}

Simplificar

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{2}{3} \leq 0

Simplificar

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{2}{3} : \frac{3 ( 3 - 2 cos ( x ) )}{3 cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{2}{3}

Mínimo común múltiplo de

cos (x), 3 : 3 cos (x)

cos (x), 3

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

cos (x)

3

= 3 cos (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1}{cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{1}{cos ( x )} = \frac{1 \cdot 3}{cos ( x ) 3} = \frac{3}{3 cos ( x )}

Para

\frac{2}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (x)

\frac{2}{3} = \frac{2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

= \frac{3}{3 cos ( x )} - \frac{2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

Racionalizar

\frac{3 - 2 cos ( x )}{3 cos ( x )} : \frac{3 ( - 2 cos ( x ) + 3 )}{3 cos ( x )}

\frac{3 - 2 cos ( x )}{3 cos ( x )}

Multiplicar por el conjugado

\frac{3}{3}

= \frac{( 3 - 2 cos ( x ) ) 3}{3 cos ( x ) 3}

3 cos (x) 3 = 3 cos (x)

3 cos (x) 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

33 = 3

= 3 cos (x)

= \frac{3 ( 3 - 2 cos ( x ) )}{3 cos ( x )}

= \frac{3 ( - 2 cos ( x ) + 3 )}{3 cos ( x )}

\frac{3 ( 3 - 2 cos ( x ) )}{3 cos ( x )} \leq 0

Simplificar

\frac{3}{3} : \frac{1}{3}

\frac{3}{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3 = 3^{\frac{1}{2}}

= \frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{1}} = \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Restar:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{1}{3 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{\frac{1}{2}} = 3

= \frac{1}{3}

\frac{3 ( 3 - 2 cos ( x ) )}{3 cos ( x )} \leq 0

Multiplicar ambos lados por

3

\frac{3 ( 3 - 2 cos ( x ) ) 3}{3 cos ( x )} \leq 0 \cdot 3

Simplificar

\frac{3 - 2 cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

\frac{3 - 2 cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

\frac{3 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

Encontrar los signos de

3 - 2 cos (x)

3 - 2 cos (x) = 0 : cos (x) = \frac{3}{2}

3 - 2 cos (x) = 0

Mover

3

al lado derecho

3 - 2 cos (x) = 0

Restar

3

de ambos lados

3 - 2 cos (x) - 3 = 0 - 3

Simplificar

- 2 cos (x) = - 3

- 2 cos (x) = - 3

Dividir ambos lados entre

- 2

- 2 cos (x) = - 3

Dividir ambos lados entre

- 2

\frac{- 2 cos ( x )}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}

Simplificar

cos (x) = \frac{3}{2}

cos (x) = \frac{3}{2}

3 - 2 cos (x) < 0 : cos (x) > \frac{3}{2}

3 - 2 cos (x) < 0

Mover

3

al lado derecho

3 - 2 cos (x) < 0

Restar

3

de ambos lados

3 - 2 cos (x) - 3 < 0 - 3

Simplificar

- 2 cos (x) < - 3

- 2 cos (x) < - 3

Multiplicar ambos lados por

- 1

- 2 cos (x) < - 3

Multiplicar ambos lados por -1 (invierte la desigualdad)

(- 2 cos (x)) (- 1) > (- 3) (- 1)

Simplificar

2 cos (x) > 3

2 cos (x) > 3

Dividir ambos lados entre

2

2 cos (x) > 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 cos ( x )}{2} > \frac{3}{2}

Simplificar

cos (x) > \frac{3}{2}

cos (x) > \frac{3}{2}

3 - 2 cos (x) > 0 : cos (x) < \frac{3}{2}

3 - 2 cos (x) > 0

Mover

3

al lado derecho

3 - 2 cos (x) > 0

Restar

3

de ambos lados

3 - 2 cos (x) - 3 > 0 - 3

Simplificar

- 2 cos (x) > - 3

- 2 cos (x) > - 3

Multiplicar ambos lados por

- 1

- 2 cos (x) > - 3

Multiplicar ambos lados por -1 (invierte la desigualdad)

(- 2 cos (x)) (- 1) < (- 3) (- 1)

Simplificar

2 cos (x) < 3

2 cos (x) < 3

Dividir ambos lados entre

2

2 cos (x) < 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 cos ( x )}{2} < \frac{3}{2}

Simplificar

cos (x) < \frac{3}{2}

cos (x) < \frac{3}{2}

Encontrar los signos de

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Encontrar puntos de singularidad

Encontrar los ceros del denominador

cos (x) : cos (x) = 0

Resumir en una tabla:

3 - 2 cos (x) cos (x) \frac{3 - 2 c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 Sin definir 0 < cos (x) < \frac{3}{2} + + + cos (x) = \frac{3}{2} 0 + 0 cos (x) > \frac{3}{2} - + -

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{3}{2} or cos (x) > \frac{3}{2}

Mezclar intervalos sobrepuestos

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{3}{2} or cos (x) > \frac{3}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

cos (x) < 0

cos (x) = \frac{3}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{3}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{3}{2}

cos (x) > \frac{3}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{3}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{3}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{3}{2}

cos (x) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) < 0

Para

cos (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

Simplificar

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Simplificar

2 π - arccos (0) : \frac{3 π}{2}

2 π - arccos (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2}

Simplificar

2 π - \frac{π}{2}

Convertir a fracción:

2 π = \frac{2 π 2}{2}

= \frac{2 π 2}{2} - \frac{π}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 2 - π}{2}

2 π 2 - π = 3 π

2 π 2 - π

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - π

Sumar elementos similares:

4 π - π = 3 π

= 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{3}{2} : - \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{3}{2}

Para

cos (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{3}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{3}{2}) + 2 πn

Simplificar

- arccos (\frac{3}{2}) : - \frac{π}{6}

- arccos (\frac{3}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{3}{2}) = \frac{π}{6}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{6}

Simplificar

arccos (\frac{3}{2}) : \frac{π}{6}

arccos (\frac{3}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{3}{2}) = \frac{π}{6}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Combinar los rangos

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or - \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Ejemplos populares

tan(a)>1

tan (a) > 1

tan(x)>= sin(2x)

tan (x) \geq sin (2 x)

sqrt(3)tan(x)>1

3 tan (x) > 1

cos((pix)/2)> 1/2

cos (\frac{π x}{2}) > \frac{1}{2}

2sin^2(x)-7sin(x)+3>0

2 sin^{2} (x) - 7 sin (x) + 3 > 0