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Popular >

2sin^2(x)-7sin(x)+3>0

Solución

2 sin^{2} (x) - 7 sin (x) + 3 > 0

Solución

- \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

Notación de intervalos

(- \frac{7 π}{6} + 2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn)

Notación decimal

- 3.66519 \dots + 2 πn < x < 0.52359 \dots + 2 πn

Pasos de solución

2 sin^{2} (x) - 7 sin (x) + 3 > 0

Sea:

u = sin (x)

2 u^{2} - 7 u + 3 > 0

2 u^{2} - 7 u + 3 > 0 : u < \frac{1}{2} or u > 3

2 u^{2} - 7 u + 3 > 0

Factorizar

2 u^{2} - 7 u + 3 : (2 u - 1) (u - 3)

2 u^{2} - 7 u + 3

Factorizar la expresión

2 u^{2} - 7 u + 3

Definición

Factores de

6 : 1, 2, 3, 6

6

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

6 : 2, 3

6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3

Agregar factores primos:

2, 3

Agregar 1 y su propio número

6

1, 6

Divisores de

6

1, 2, 3, 6

Factores negativos de

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2, - 3, - 6

Por cada dos factores tales que

u * v = 6,

revisar si

u + v = - 7

Revisar

u = 1, v = 6 : u * v = 6, u + v = 7 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = 3 : u * v = 6, u + v = 5 \Rightarrow

Falso

u = - 1, v = - 6

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (- 6 u + 3)

= (2 u^{2} - u) + (- 6 u + 3)

Factorizar

u

2 u^{2} - u

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Factorizar el termino común

u

= u (2 u - 1)

Factorizar

- 3

- 6 u + 3

- 3 (2 u - 1)

- 6 u + 3

Reescribir

6

como

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u + 3

Factorizar el termino común

- 3

= - 3 (2 u - 1)

= u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1)

Factorizar el termino común

2 u - 1

= (2 u - 1) (u - 3)

(2 u - 1) (u - 3) > 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(2 u - 1) (u - 3)

Encontrar los signos de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Encontrar los signos de

u - 3

u - 3 = 0 : u = 3

u - 3 = 0

Mover

3

al lado derecho

u - 3 = 0

Sumar

3

a ambos lados

u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplificar

u = 3

u = 3

u - 3 < 0 : u < 3

u - 3 < 0

Mover

3

al lado derecho

u - 3 < 0

Sumar

3

a ambos lados

u - 3 + 3 < 0 + 3

Simplificar

u < 3

u < 3

u - 3 > 0 : u > 3

u - 3 > 0

Mover

3

al lado derecho

u - 3 > 0

Sumar

3

a ambos lados

u - 3 + 3 > 0 + 3

Simplificar

u > 3

u > 3

Resumir en una tabla:

2 u - 1 u - 3 (2 u - 1) (u - 3) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < 3 + - - u = 3 + 00 u > 3 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

u < \frac{1}{2} or u > 3

u < \frac{1}{2} or u > 3

u < \frac{1}{2} or u > 3

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) < \frac{1}{2} or sin (x) > 3

sin (x) < \frac{1}{2} : - \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) < \frac{1}{2}

Para

sin (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (\frac{1}{2}) : - \frac{7 π}{6}

- π - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6}

Simplificar

- π - \frac{π}{6}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 - π}{6}

Sumar elementos similares:

- 6 π - π = - 7 π

= \frac{- 7 π}{6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7 π}{6}

= - \frac{7 π}{6}

Simplificar

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) > 3 :

Falso para todo

x \in R

sin (x) > 3

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > 3 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y > 3 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y > 3 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y > 3

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Falso para todo x \in R

Combinar los rangos

- \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn or Falso para todo x \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

- \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

sin(5x-30)<= (sqrt(3))/2

sin (5 x - 3 0^{\circ}) \leq \frac{3}{2}

cos((3x)/2)<0

cos (\frac{3 x}{2}) < 0

sec(x)<0,csc(x)>0,0<= x<= 2pi

sec (x) < 0, csc (x) > 0, 0 \leq x \leq 2 π

2(cos(3x))^2+sqrt(3)sin(6x)<1

2 (cos (3 x))^{2} + 3 sin (6 x) < 1

2cos^2(x)-cos(x)-1<0

2 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 < 0