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2sin^2(x)+3sin(x)>= 2

Solución

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) \geq 2

Solución

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Notación de intervalos

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn]

Notación decimal

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn

Pasos de solución

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) \geq 2

Sea:

u = sin (x)

2 u^{2} + 3 u \geq 2

2 u^{2} + 3 u \geq 2 : u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

2 u^{2} + 3 u \geq 2

Reescribir en la forma estándar

2 u^{2} + 3 u \geq 2

Restar

2

de ambos lados

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 2 - 2

Simplificar

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 0

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 0

Factorizar

2 u^{2} + 3 u - 2 : (2 u - 1) (u + 2)

2 u^{2} + 3 u - 2

Factorizar la expresión

2 u^{2} + 3 u - 2

Definición

Factores de

4 : 1, 2, 4

4

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

4 : 2, 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2

Agregar factores primos:

2

Agregar 1 y su propio número

4

1, 4

Divisores de

4

1, 2, 4

Factores negativos de

4 : - 1, - 2, - 4

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2, - 4

Por cada dos factores tales que

u * v = - 4,

revisar si

u + v = 3

Revisar

u = 1, v = - 4 : u * v = - 4, u + v = - 3 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = - 2 : u * v = - 4, u + v = 0 \Rightarrow

Falso

u = 4, v = - 1

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (4 u - 2)

= (2 u^{2} - u) + (4 u - 2)

Factorizar

u

2 u^{2} - u

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Factorizar el termino común

u

= u (2 u - 1)

Factorizar

2

4 u - 2

2 (2 u - 1)

4 u - 2

Reescribir

4

como

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 u - 2

Factorizar el termino común

2

= 2 (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1)

Factorizar el termino común

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 2)

(2 u - 1) (u + 2) \geq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(2 u - 1) (u + 2)

Encontrar los signos de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Encontrar los signos de

u + 2

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Mover

2

al lado derecho

u + 2 = 0

Restar

2

de ambos lados

u + 2 - 2 = 0 - 2

Simplificar

u = - 2

u = - 2

u + 2 < 0 : u < - 2

u + 2 < 0

Mover

2

al lado derecho

u + 2 < 0

Restar

2

de ambos lados

u + 2 - 2 < 0 - 2

Simplificar

u < - 2

u < - 2

u + 2 > 0 : u > - 2

u + 2 > 0

Mover

2

al lado derecho

u + 2 > 0

Restar

2

de ambos lados

u + 2 - 2 > 0 - 2

Simplificar

u > - 2

u > - 2

Resumir en una tabla:

2 u - 1 u + 2 (2 u - 1) (u + 2) u < - 2 - - + u = - 2 - 00 - 2 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\geq 0

u < - 2 or u = - 2 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

Mezclar intervalos sobrepuestos

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u < - 2

u = - 2

u \leq - 2

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u \leq - 2

u = \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) \leq - 2 or sin (x) \geq \frac{1}{2}

sin (x) \leq - 2 :

Falso para todo

x \in R

sin (x) \leq - 2

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq - 2 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y \leq - 2 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \leq - 2 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \leq - 2

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Falso para todo x \in R

sin (x) \geq \frac{1}{2} : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \geq \frac{1}{2}

Para

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Simplificar

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Simplificar

π - \frac{π}{6}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Sumar elementos similares:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combinar los rangos

Falso para todo x \in R or \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

cos(x)<=-1/2

cos (x) \leq - \frac{1}{2}

2cos^2(2x)-3cos(2x)+1<0

2 cos^{2} (2 x) - 3 cos (2 x) + 1 < 0

cos^2(x)<=-sin(x)

cos^{2} (x) \leq - sin (x)

tan(θ)>0,sin(θ)<0

tan (θ) > 0, sin (θ) < 0

sin^2(x)> 15/40

sin^{2} (x) > \frac{15}{40}