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cot^2(x)+4cot(x)+3>0

Solución

cot^{2} (x) + 4 cot (x) + 3 > 0

Solución

πn < x < \frac{3 π}{4} + πn or arccot (- 3) + πn < x < π + πn

Notación de intervalos

(πn, \frac{3 π}{4} + πn) \cup (arccot (- 3) + πn, π + πn)

Notación decimal

πn < x < 2.35619 \dots + πn or 2.81984 \dots + πn < x < 3.14159 \dots + πn

Pasos de solución

cot^{2} (x) + 4 cot (x) + 3 > 0

Sea:

u = cot (x)

u^{2} + 4 u + 3 > 0

u^{2} + 4 u + 3 > 0 : u < - 3 or u > - 1

u^{2} + 4 u + 3 > 0

Factorizar

u^{2} + 4 u + 3 : (u + 1) (u + 3)

u^{2} + 4 u + 3

Factorizar la expresión

u^{2} + 4 u + 3

Definición

Factores de

3 : 1, 3

3

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Agregar 1

1

Divisores de

3

1, 3

Por cada dos factores tales que

u * v = 3,

revisar si

u + v = 4

Revisar

u = 1, v = 3 : u * v = 3, u + v = 4 \Rightarrow

Verdadero

u = 1, v = 3

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} + u) + (3 u + 3)

= (u^{2} + u) + (3 u + 3)

Factorizar

u

u^{2} + u

u (u + 1)

u^{2} + u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu + u

Factorizar el termino común

u

= u (u + 1)

Factorizar

3

3 u + 3

3 (u + 1)

3 u + 3

Factorizar el termino común

3

= 3 (u + 1)

= u (u + 1) + 3 (u + 1)

Factorizar el termino común

u + 1

= (u + 1) (u + 3)

(u + 1) (u + 3) > 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(u + 1) (u + 3)

Encontrar los signos de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

u > - 1

u > - 1

Encontrar los signos de

u + 3

u + 3 = 0 : u = - 3

u + 3 = 0

Mover

3

al lado derecho

u + 3 = 0

Restar

3

de ambos lados

u + 3 - 3 = 0 - 3

Simplificar

u = - 3

u = - 3

u + 3 < 0 : u < - 3

u + 3 < 0

Mover

3

al lado derecho

u + 3 < 0

Restar

3

de ambos lados

u + 3 - 3 < 0 - 3

Simplificar

u < - 3

u < - 3

u + 3 > 0 : u > - 3

u + 3 > 0

Mover

3

al lado derecho

u + 3 > 0

Restar

3

de ambos lados

u + 3 - 3 > 0 - 3

Simplificar

u > - 3

u > - 3

Resumir en una tabla:

u + 1 u + 3 (u + 1) (u + 3) u < - 3 - - + u = - 3 - 00 - 3 < u < - 1 - + - u = - 1 0 + 0 u > - 1 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

u < - 3 or u > - 1

u < - 3 or u > - 1

u < - 3 or u > - 1

Sustituir en la ecuación

u = cot (x)

cot (x) < - 3 or cot (x) > - 1

cot (x) < - 3 : arccot (- 3) + πn < x < π + πn

cot (x) < - 3

cot (x) < a

entonces

arccot (a) + πn < x < π + πn

arccot (- 3) + πn < x < π + πn

cot (x) > - 1 : πn < x < \frac{3 π}{4} + πn

cot (x) > - 1

cot (x) > a

entonces

πn < x < arccot (a) + πn

πn < x < arccot (- 1) + πn

Simplificar

arccot (- 1) : \frac{3 π}{4}

arccot (- 1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccot (- 1) = \frac{3 π}{4}

x - 3 - 1 - \frac{3}{3} 0 \frac{3}{3} 13 arccot (x) \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} arccot (x) 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ}

= \frac{3 π}{4}

πn < x < \frac{3 π}{4} + πn

Combinar los rangos

arccot (- 3) + πn < x < π + πn or πn < x < \frac{3 π}{4} + πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

πn < x < \frac{3 π}{4} + πn or arccot (- 3) + πn < x < π + πn

Ejemplos populares

sin^2(2t)<0

sin^{2} (2 t) < 0

5sin(1/2 (x+pi/4))-1>=-7

5 sin (\frac{1}{2} (x + \frac{π}{4})) - 1 \geq - 7

pi/6-arcsin(x)>= 0

\frac{π}{6} - arcsin (x) \geq 0

cos^2(x)< 1/2

cos^{2} (x) < \frac{1}{2}

1/(sin^2(x))>= 1

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1