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Popular Trigonometria >

4sin^2(x)-8sin(x)+3<= 0

Solução

4 sin^{2} (x) - 8 sin (x) + 3 \leq 0

Solução

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Notação de intervalo

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn]

Decimal

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn

Passos da solução

4 sin^{2} (x) - 8 sin (x) + 3 \leq 0

Sea:

u = sin (x)

4 u^{2} - 8 u + 3 \leq 0

4 u^{2} - 8 u + 3 \leq 0 : \frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

4 u^{2} - 8 u + 3 \leq 0

Fatorar

4 u^{2} - 8 u + 3 : (2 u - 1) (2 u - 3)

4 u^{2} - 8 u + 3

Fatorar a expressão

4 u^{2} - 8 u + 3

Definição

Fatores de

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

Divisores (fatores)

Encontre os fatores primos de

12 : 2, 2, 3

12

12

dividida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

dividida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplique os fatores primos de

12 : 4, 6

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6

4, 6

Adicione os fatores primos:

2, 3

Adicione 1 e o próprio número

12

1, 12

Divisores de

12

1, 2, 3, 4, 6, 12

Fatores negativos de

12 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Multiplicar os números por

- 1

para obter divisores negativos

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Para cada dois fatores tais que

u * v = 12,

verifique se

u + v = - 8

Verifique

u = 1, v = 12 : u * v = 12, u + v = 13 \Rightarrow

FalsoVerifique

u = 2, v = 6 : u * v = 12, u + v = 8 \Rightarrow

Falso

u = - 2, v = - 6

Agrupe em

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} - 2 u) + (- 6 u + 3)

= (4 u^{2} - 2 u) + (- 6 u + 3)

Fatorar

2 u

4 u^{2} - 2 u

2 u (2 u - 1)

4 u^{2} - 2 u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 4 uu - 2 u

Reescrever

4

como

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 uu - 2 u

Fatorar o termo comum

2 u

= 2 u (2 u - 1)

Fatorar

- 3

- 6 u + 3

- 3 (2 u - 1)

- 6 u + 3

Reescrever

6

como

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u + 3

Fatorar o termo comum

- 3

= - 3 (2 u - 1)

= 2 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1)

Fatorar o termo comum

2 u - 1

= (2 u - 1) (2 u - 3)

(2 u - 1) (2 u - 3) \leq 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

(2 u - 1) (2 u - 3)

Encontre os sinais de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u = 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 < 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u < 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 > 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u > 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Encontre os sinais de

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Mova

3

para o lado direito

2 u - 3 = 0

Adicionar

3

a ambos os lados

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplificar

2 u = 3

2 u = 3

Dividir ambos os lados por

2

2 u = 3

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Simplificar

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Mova

3

para o lado direito

2 u - 3 < 0

Adicionar

3

a ambos os lados

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

Simplificar

2 u < 3

2 u < 3

Dividir ambos os lados por

2

2 u < 3

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

Simplificar

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Mova

3

para o lado direito

2 u - 3 > 0

Adicionar

3

a ambos os lados

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

Simplificar

2 u > 3

2 u > 3

Dividir ambos os lados por

2

2 u > 3

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

Simplificar

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Resumir em uma tabela:

2 u - 1 2 u - 3 (2 u - 1) (2 u - 3) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

\leq 0

u = \frac{1}{2} or \frac{1}{2} < u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

Junte intervalos que se sobrepoem

\frac{1}{2} \leq u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{2} < u < \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u < \frac{3}{2}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

\frac{1}{2} \leq u < \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

Substituir na equação

u = sin (x)

\frac{1}{2} \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin (x)

Trocar lados

sin (x) \geq \frac{1}{2}

Para

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

então

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Simplificar

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Simplificar

π - \frac{π}{6}

Converter para fração:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Somar elementos similares:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2} :

Verdadeiro para todo

x \in R

sin (x) \leq \frac{3}{2}

Imagem de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definição de imagem de função

A imagem da função básica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Considere

y = sin (x)

Combinar os intervalos

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Junte intervalos que se sobrepoem

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos

y \leq \frac{3}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadeiro para todo x

Verdadeiro para todo x \in R

Combinar os intervalos

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and Verdadeiro para todo x \in R

Junte intervalos que se sobrepoem

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Exemplos populares

sin^2(x)> 3/4

sin^{2} (x) > \frac{3}{4}

(1-2cos(x))<0

(1 - 2 cos (x)) < 0

(sin(x))^2<= 3/4

(sin (x))^{2} \leq \frac{3}{4}

13<2.5cos(((2pi)/(365))(x+9))+12

13 < 2.5 cos ((\frac{2 π}{365}) (x + 9)) + 12

sin^4(x)-cos^4(x)<= 0

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) \leq 0