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Popular >

(sin(x)-1/2)(sin(x)-7/2)<= 0

Solución

(sin (x) - \frac{1}{2}) (sin (x) - \frac{7}{2}) \leq 0

Solución

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Notación de intervalos

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn]

Notación decimal

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn

Pasos de solución

(sin (x) - \frac{1}{2}) (sin (x) - \frac{7}{2}) \leq 0

Sea:

u = sin (x)

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2}) \leq 0

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2}) \leq 0 : \frac{1}{2} \leq u \leq \frac{7}{2}

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2}) \leq 0

Reescribir en la forma estándar

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2}) \leq 0

Expandir

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2}) : u^{2} - 4 u + \frac{7}{4}

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2})

Aplicar la propiedad distributiva:

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

a = u, b = - \frac{1}{2}, c = u, d = - \frac{7}{2}

= uu + u (- \frac{7}{2}) + (- \frac{1}{2}) u + (- \frac{1}{2}) (- \frac{7}{2})

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a, (- a) (- b) = ab

= uu - \frac{7}{2} u - \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}

Simplificar

uu - \frac{7}{2} u - \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2} : u^{2} - 4 u + \frac{7}{4}

uu - \frac{7}{2} u - \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}

Sumar elementos similares:

- \frac{7}{2} u - \frac{1}{2} u = - 4 u

- \frac{7}{2} u - \frac{1}{2} u

Factorizar el termino común

u

= u (- \frac{7}{2} - \frac{1}{2})

- \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = - 4

- \frac{7}{2} - \frac{1}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 7 - 1}{2}

Restar:

- 7 - 1 = - 8

= \frac{- 8}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{2}

Dividir:

\frac{8}{2} = 4

= - 4

= - 4 u

= uu - 4 u + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}

uu = u^{2}

uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= u^{2}

\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{7}{4}

\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}

Multiplicar fracciones:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 2}

Simplificar

= \frac{7}{4}

= u^{2} - 4 u + \frac{7}{4}

= u^{2} - 4 u + \frac{7}{4}

u^{2} - 4 u + \frac{7}{4} \leq 0

Multiplicar ambos lados por

4

u^{2} \cdot 4 - 4 u \cdot 4 + \frac{7}{4} \cdot 4 \leq 0 \cdot 4

4 u^{2} - 16 u + 7 \leq 0

4 u^{2} - 16 u + 7 \leq 0

Factorizar

4 u^{2} - 16 u + 7 : (2 u - 1) (2 u - 7)

4 u^{2} - 16 u + 7

Factorizar la expresión

4 u^{2} - 16 u + 7

Definición

Factores de

28 : 1, 2, 4, 7, 14, 28

28

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

28 : 2, 2, 7

28

28

divida por

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

divida por

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 7

Multiplicar los factores primos de

28 : 4, 14

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 7 = 14

4, 14

4, 14

Agregar factores primos:

2, 7

Agregar 1 y su propio número

28

1, 28

Divisores de

28

1, 2, 4, 7, 14, 28

Factores negativos de

28 : - 1, - 2, - 4, - 7, - 14, - 28

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2, - 4, - 7, - 14, - 28

Por cada dos factores tales que

u * v = 28,

revisar si

u + v = - 16

Revisar

u = 1, v = 28 : u * v = 28, u + v = 29 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = 14 : u * v = 28, u + v = 16 \Rightarrow

Falso

u = - 2, v = - 14

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} - 2 u) + (- 14 u + 7)

= (4 u^{2} - 2 u) + (- 14 u + 7)

Factorizar

2 u

4 u^{2} - 2 u

2 u (2 u - 1)

4 u^{2} - 2 u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 4 uu - 2 u

Reescribir

4

como

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 uu - 2 u

Factorizar el termino común

2 u

= 2 u (2 u - 1)

Factorizar

- 7

- 14 u + 7

- 7 (2 u - 1)

- 14 u + 7

Reescribir

14

como

7 \cdot 2

= - 7 \cdot 2 u + 7

Factorizar el termino común

- 7

= - 7 (2 u - 1)

= 2 u (2 u - 1) - 7 (2 u - 1)

Factorizar el termino común

2 u - 1

= (2 u - 1) (2 u - 7)

(2 u - 1) (2 u - 7) \leq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(2 u - 1) (2 u - 7)

Encontrar los signos de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Encontrar los signos de

2 u - 7

2 u - 7 = 0 : u = \frac{7}{2}

2 u - 7 = 0

Mover

7

al lado derecho

2 u - 7 = 0

Sumar

7

a ambos lados

2 u - 7 + 7 = 0 + 7

Simplificar

2 u = 7

2 u = 7

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 7

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{7}{2}

Simplificar

u = \frac{7}{2}

u = \frac{7}{2}

2 u - 7 < 0 : u < \frac{7}{2}

2 u - 7 < 0

Mover

7

al lado derecho

2 u - 7 < 0

Sumar

7

a ambos lados

2 u - 7 + 7 < 0 + 7

Simplificar

2 u < 7

2 u < 7

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 7

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{7}{2}

Simplificar

u < \frac{7}{2}

u < \frac{7}{2}

2 u - 7 > 0 : u > \frac{7}{2}

2 u - 7 > 0

Mover

7

al lado derecho

2 u - 7 > 0

Sumar

7

a ambos lados

2 u - 7 + 7 > 0 + 7

Simplificar

2 u > 7

2 u > 7

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 7

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{7}{2}

Simplificar

u > \frac{7}{2}

u > \frac{7}{2}

Resumir en una tabla:

2 u - 1 2 u - 7 (2 u - 1) (2 u - 7) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < \frac{7}{2} + - - u = \frac{7}{2} + 00 u > \frac{7}{2} + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

u = \frac{1}{2} or \frac{1}{2} < u < \frac{7}{2} or u = \frac{7}{2}

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{1}{2} \leq u < \frac{7}{2} or u = \frac{7}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{2} < u < \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq u < \frac{7}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

\frac{1}{2} \leq u < \frac{7}{2}

u = \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{7}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

\frac{1}{2} \leq sin (x) \leq \frac{7}{2}

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin (x)

Intercambiar lados

sin (x) \geq \frac{1}{2}

Para

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Simplificar

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Simplificar

π - \frac{π}{6}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Sumar elementos similares:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{7}{2} :

Verdadero para todo

x \in R

sin (x) \leq \frac{7}{2}

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq \frac{7}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y \leq \frac{7}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \leq \frac{7}{2} and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \leq \frac{7}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadero para todo x

Verdadero para todo x \in R

Combinar los rangos

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and Verdadero para todo x \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

sin(x)-2<=-5/2

sin (x) - 2 \leq - \frac{5}{2}

tan(1/x)<= tan(1/(x+1))

tan (\frac{1}{x}) \leq tan (\frac{1}{x + 1})

cos(x^4)+sin(x^4)>= 0.5

cos (x^{4}) + sin (x^{4}) \geq 0.5

1-tan(x)<2

1 - tan (x) < 2

2sin(x)-1>=-3

2 sin (x) - 1 \geq - 3