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Populaire Trigonométrie >

tan^2(x)-3tan(x)+2<0

Solution

tan^{2} (x) - 3 tan (x) + 2 < 0

Solution

\frac{π}{4} + πn < x < arctan (2) + πn

La notation des intervalles

(\frac{π}{4} + πn, arctan (2) + πn)

Décimale

0.78539 \dots + πn < x < 1.10714 \dots + πn

étapes des solutions

tan^{2} (x) - 3 tan (x) + 2 < 0

Soit :

u = tan (x)

u^{2} - 3 u + 2 < 0

u^{2} - 3 u + 2 < 0 : 1 < u < 2

u^{2} - 3 u + 2 < 0

Factoriser

u^{2} - 3 u + 2 : (u - 1) (u - 2)

u^{2} - 3 u + 2

Décomposer l'expression en groupes

u^{2} - 3 u + 2

Définition

Facteurs de

2 : 1, 2

2

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Ajouter 1

1

Les facteurs de

2

1, 2

Facteurs négatifs de

2 : - 1, - 2

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = 2,

vérifier si

u + v = - 3

Vérifier

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

FauxVérifier

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

vrai

u = - 1, v = - 2

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} - u) + (- 2 u + 2)

= (u^{2} - u) + (- 2 u + 2)

Factoriser

u

depuis

u^{2} - u : u (u - 1)

u^{2} - u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - u

Factoriser le terme commun

u

= u (u - 1)

Factoriser

- 2

depuis

- 2 u + 2 : - 2 (u - 1)

- 2 u + 2

Factoriser le terme commun

- 2

= - 2 (u - 1)

= u (u - 1) - 2 (u - 1)

Factoriser le terme commun

u - 1

= (u - 1) (u - 2)

(u - 1) (u - 2) < 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

(u - 1) (u - 2)

Trouver les signes de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

u > 1

u > 1

Trouver les signes de

u - 2

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Déplacer

2

vers la droite

u - 2 = 0

Ajouter

2

aux deux côtés

u - 2 + 2 = 0 + 2

Simplifier

u = 2

u = 2

u - 2 < 0 : u < 2

u - 2 < 0

Déplacer

2

vers la droite

u - 2 < 0

Ajouter

2

aux deux côtés

u - 2 + 2 < 0 + 2

Simplifier

u < 2

u < 2

u - 2 > 0 : u > 2

u - 2 > 0

Déplacer

2

vers la droite

u - 2 > 0

Ajouter

2

aux deux côtés

u - 2 + 2 > 0 + 2

Simplifier

u > 2

u > 2

Récapituler dans un tableau:

u - 1 u - 2 (u - 1) (u - 2) u < 1 - - + u = 1 0 - 0 1 < u < 2 + - - u = 2 + 00 u > 2 + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

< 0

1 < u < 2

1 < u < 2

1 < u < 2

Remplacer

u = tan (x)

1 < tan (x) < 2

a < u < b

alors

a < u and u < b

1 < tan (x) and tan (x) < 2

1 < tan (x) : \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

1 < tan (x)

Transposer les termes des côtés

tan (x) > 1

tan (x) > a

alors

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (1) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Simplifier

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < 2 : - \frac{π}{2} + πn < x < arctan (2) + πn

tan (x) < 2

tan (x) < a

alors

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (2) + πn

Réunir les intervalles

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < arctan (2) + πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{π}{4} + πn < x < arctan (2) + πn

Exemples populaires

solvefor x,arctan(|x-y|)>0

so l v e f or x, arctan (∣ x - y ∣) > 0

cot^2(2t)<0

cot^{2} (2 t) < 0

solvefor x,sin(((x))/(cos(y)))>0

so l v e f or x, sin (\frac{( x )}{cos ( y )}) > 0

-5(sin(x)+cos(x))>0

- 5 (sin (x) + cos (x)) > 0

-sin(x)<= 1

- sin (x) \leq 1