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Beliebt Trigonometrie >

tan^2(x)-3tan(x)+2<0

Lösung

tan^{2} (x) - 3 tan (x) + 2 < 0

Lösung

\frac{π}{4} + πn < x < arctan (2) + πn

Intervall-Notation

(\frac{π}{4} + πn, arctan (2) + πn)

Dezimale

0.78539 \dots + πn < x < 1.10714 \dots + πn

Schritte zur Lösung

tan^{2} (x) - 3 tan (x) + 2 < 0

Angenommen:

u = tan (x)

u^{2} - 3 u + 2 < 0

u^{2} - 3 u + 2 < 0 : 1 < u < 2

u^{2} - 3 u + 2 < 0

Faktorisiere

u^{2} - 3 u + 2 : (u - 1) (u - 2)

u^{2} - 3 u + 2

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

u^{2} - 3 u + 2

Definition

Faktoren von

2 : 1, 2

2

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Addiere 1

1

Die Faktoren von

2

1, 2

Negative Faktoren von

2 : - 1, - 2

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = 2,

prüfe, ob

u + v = - 3

Prüfe

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

Wahr

u = - 1, v = - 2

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} - u) + (- 2 u + 2)

= (u^{2} - u) + (- 2 u + 2)

Klammere

u

aus

u^{2} - u

aus

: u (u - 1)

u^{2} - u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (u - 1)

Klammere

- 2

aus

- 2 u + 2

aus

: - 2 (u - 1)

- 2 u + 2

Klammere gleiche Terme aus

- 2

= - 2 (u - 1)

= u (u - 1) - 2 (u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

u - 1

= (u - 1) (u - 2)

(u - 1) (u - 2) < 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(u - 1) (u - 2)

Finde die Vorzeichen von

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

u > 1

u > 1

Finde die Vorzeichen von

u - 2

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

u = 2

u = 2

u - 2 < 0 : u < 2

u - 2 < 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 < 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 < 0 + 2

Vereinfache

u < 2

u < 2

u - 2 > 0 : u > 2

u - 2 > 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 > 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 > 0 + 2

Vereinfache

u > 2

u > 2

Fasse in einer Tabelle zusammen:

u - 1 u - 2 (u - 1) (u - 2) u < 1 - - + u = 1 0 - 0 1 < u < 2 + - - u = 2 + 00 u > 2 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

< 0

1 < u < 2

1 < u < 2

1 < u < 2

Setze in

u = tan (x)

ein

1 < tan (x) < 2

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

1 < tan (x) and tan (x) < 2

1 < tan (x) : \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

1 < tan (x)

Tausche die Seiten

tan (x) > 1

Wenn

tan (x) > a

dann

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (1) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Vereinfache

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < 2 : - \frac{π}{2} + πn < x < arctan (2) + πn

tan (x) < 2

Wenn

tan (x) < a

dann

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (2) + πn

Kombiniere die Bereiche

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < arctan (2) + πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{4} + πn < x < arctan (2) + πn

Beliebte Beispiele

solvefor x,arctan(|x-y|)>0

so l v e f or x, arctan (∣ x - y ∣) > 0

cot^2(2t)<0

cot^{2} (2 t) < 0

solvefor x,sin(((x))/(cos(y)))>0

so l v e f or x, sin (\frac{( x )}{cos ( y )}) > 0

-5(sin(x)+cos(x))>0

- 5 (sin (x) + cos (x)) > 0

-sin(x)<= 1

- sin (x) \leq 1