English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

(2sin^2(x))/(sin(x)-1)<-1

Решение

\frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1} < - 1

Решение

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Обозначение интервала

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn)

десятичными цифрами

0.52359 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x < 2.61799 \dots + 2 πn

Шаги решения

\frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1} < - 1

Допустим:

u = sin (x)

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1 : u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1

Перепишите в стандартной форме

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1

Добавьте

1

к обеим сторонам

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1 < - 1 + 1

После упрощения получаем

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1 < 0

Упростить

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1 : \frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1

Преобразуйте элемент в дробь:

1 = \frac{1 ( u - 1 )}{u - 1}

= \frac{2 u ^{2}}{u - 1} + \frac{1 \cdot ( u - 1 )}{u - 1}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 u ^{2} + 1 \cdot ( u - 1 )}{u - 1}

1 \cdot (u - 1) = u - 1

1 \cdot (u - 1)

Умножьте:

1 \cdot (u - 1) = (u - 1)

= (u - 1)

Уберите скобки:

(a) = a

= u - 1

= \frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1} < 0

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1} < 0

коэффициент

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1} : \frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1}

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1}

коэффициент

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

Разбейте выражение на группы

2 u^{2} + u - 1

Определение

Множители

2 : 1, 2

2

Делители (множители)

Найдите простые множители

2 : 2

2

2

является простым числом, поэтому разложение на множители невозможно

= 2

Добавьте 1

1

Факторы

2

1, 2

Отрицательные коэффициенты

2 : - 1, - 2

Умножьте коэффициенты на

- 1

чтобы получить отрицательные коэффициенты

- 1, - 2

Для каждых двух множителей таких, как

u * v = - 2,

проверьте, если

u + v = 1

Проверьте

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

НеверноПроверьте

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Верно

u = 2, v = - 1

Сгруппируйте в

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Вынести

u

из

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Убрать общее значение

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Убрать общее значение

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

= \frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1}

\frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1} < 0

Определите интервалы

Найдите знаки множителей

\frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1}

Найдите признаки

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

2 u = 1

2 u = 1

Разделите обе стороны на

2

2 u = 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 < 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

После упрощения получаем

2 u < 1

2 u < 1

Разделите обе стороны на

2

2 u < 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 > 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

После упрощения получаем

2 u > 1

2 u > 1

Разделите обе стороны на

2

2 u > 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Найдите признаки

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Переместите

1

вправо

u + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

u + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Переместите

1

вправо

u + 1 < 0

Вычтите

1

с обеих сторон

u + 1 - 1 < 0 - 1

После упрощения получаем

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Переместите

1

вправо

u + 1 > 0

Вычтите

1

с обеих сторон

u + 1 - 1 > 0 - 1

После упрощения получаем

u > - 1

u > - 1

Найдите признаки

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Переместите

1

вправо

u - 1 < 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 < 0 + 1

После упрощения получаем

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Переместите

1

вправо

u - 1 > 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 > 0 + 1

После упрощения получаем

u > 1

u > 1

Найдите точки сингулярности

Найдите нули знаменателя

u - 1 : u = 1

u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

u = 1

u = 1

Свести в таблицу:

2 u - 1 u + 1 u - 1 \frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1} u < - 1 - - - - u = - 1 - 0 - 0 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - + u = \frac{1}{2} 0 + - 0 \frac{1}{2} < u < 1 + + - - u = 1 + + 0 Неопределенный u > 1 + + + +

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

< 0

u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

Делаем обратную замену

u = sin (x)

sin (x) < - 1 or \frac{1}{2} < sin (x) < 1

sin (x) < - 1 :

Неверно для всех

x \in R

sin (x) < - 1

Диапазон

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Определение диапазона функций

Диапазон базовой функции

sin

равен

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Неверно

Пусть

y = sin (x)

Объедините интервалы

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Пересечение двух интервалов - это набор чисел, которые находятся в обоих интервалах

y < - 1

- 1 \leq y \leq 1

Неверно для всех y \in R

Неверно для всех y \in R

Решения для x \in R нет

Неверно для всех x \in R

\frac{1}{2} < sin (x) < 1 : \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} < sin (x) < 1

Если

a < u < b,

то

a < u and u < b

\frac{1}{2} < sin (x) and sin (x) < 1

\frac{1}{2} < sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} < sin (x)

Поменяйте стороны

sin (x) > \frac{1}{2}

Для

sin (x) > a

, если

- 1 \leq a < 1

, то

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Упростите

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Упростите

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

После упрощения получаем

π - \frac{π}{6}

Преобразуйте элемент в дробь:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Добавьте похожие элементы:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) < 1 : - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) < 1

Для

sin (x) < a

, если

- 1 < a \leq 1

, то

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (1) + 2 πn < x < arcsin (1) + 2 πn

Упростите

- π - arcsin (1) : - \frac{3 π}{2}

- π - arcsin (1)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{2}

После упрощения получаем

- π - \frac{π}{2}

Преобразуйте элемент в дробь:

π = \frac{π 2}{2}

= - \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 - π}{2}

Добавьте похожие элементы:

- 2 π - π = - 3 π

= \frac{- 3 π}{2}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3 π}{2}

= - \frac{3 π}{2}

Упростите

arcsin (1) : \frac{π}{2}

arcsin (1)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Объедините интервалы

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn and - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Объедините интервалы

Неверно для всех x \in R or (\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn)

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

(2sin^2(x))/(sin(x)-1)<-1

Решение

Решение

Популярные примеры