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人気のある三角関数 >

(2sin^2(x))/(sin(x)-1)<-1

解

\frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1} < - 1

解

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

+2

区間表記

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn)

十進法表記

0.52359 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x < 2.61799 \dots + 2 πn

解答ステップ

\frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1} < - 1

仮定:

u = sin (x)

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1 : u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1

標準的な形式で書き換える

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1

両辺に

1

を足す

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1 < - 1 + 1

簡素化

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1 < 0

簡素化

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1 : \frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 ( u - 1 )}{u - 1}

= \frac{2 u ^{2}}{u - 1} + \frac{1 \cdot ( u - 1 )}{u - 1}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 u ^{2} + 1 \cdot ( u - 1 )}{u - 1}

1 \cdot (u - 1) = u - 1

1 \cdot (u - 1)

乗算:

1 \cdot (u - 1) = (u - 1)

= (u - 1)

括弧を削除する:

(a) = a

= u - 1

= \frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1} < 0

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1} < 0

因数

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1} : \frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1}

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1}

因数

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

式をグループに分ける

2 u^{2} + u - 1

定義

以下の因数:

2 : 1, 2

2

除数 (因数)

以下の素因数を求める:

2 : 2

2

2

は素数なので, 因数分解できない

= 2

1 を加える

1

以下の因数:

2

1, 2

以下の負の因数:

2 : - 1, - 2

因数に

- 1

を乗じて負の因数を得る

- 1, - 2

u * v = - 2

などの各 2 因数で以下をチェックする:

u + v = 1

以下をチェックする:

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

偽以下をチェックする:

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

真

u = 2, v = - 1

以下に分ける:

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

u

を

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

からくくり出す

2 u^{2} - u

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

共通項をくくり出す

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

共通項をくくり出す

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

= \frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1}

\frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1} < 0

区間を特定する

以下の因数の符号を求める:

\frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1}

以下の符号を求める:

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

2 u = 1

2 u = 1

以下で両辺を割る

2

2 u = 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

簡素化

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 < 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

簡素化

2 u < 1

2 u < 1

以下で両辺を割る

2

2 u < 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

簡素化

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 > 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

簡素化

2 u > 1

2 u > 1

以下で両辺を割る

2

2 u > 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

簡素化

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

以下の符号を求める:

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

1

を右側に移動します

u + 1 = 0

両辺から

1

を引く

u + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

1

を右側に移動します

u + 1 < 0

両辺から

1

を引く

u + 1 - 1 < 0 - 1

簡素化

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

1

を右側に移動します

u + 1 > 0

両辺から

1

を引く

u + 1 - 1 > 0 - 1

簡素化

u > - 1

u > - 1

以下の符号を求める:

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

1

を右側に移動します

u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

1

を右側に移動します

u - 1 < 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 < 0 + 1

簡素化

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

1

を右側に移動します

u - 1 > 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 > 0 + 1

簡素化

u > 1

u > 1

特異点を求める

分母のゼロを求める

u - 1 : u = 1

u - 1 = 0

1

を右側に移動します

u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

u = 1

u = 1

表で要約する:

2 u - 1 u + 1 u - 1 \frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1} u < - 1 - - - - u = - 1 - 0 - 0 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - + u = \frac{1}{2} 0 + - 0 \frac{1}{2} < u < 1 + + - - u = 1 + + 0 未定義 u > 1 + + + +

必要条件を満たす区間を特定する:

< 0

u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

代用を戻す

u = sin (x)

sin (x) < - 1 or \frac{1}{2} < sin (x) < 1

sin (x) < - 1 :

すべて偽

x \in R

sin (x) < - 1

以下の範囲:

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

関数範囲の定義

基本的な

sin

関数の範囲は

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

偽

y =

にする

sin (x)

区間を組み合わせる

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

重複している区間をマージする

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

2つの区間の交点は, 区間

y < - 1

と

の両方の数の集合である

- 1 \leq y \leq 1

すべて偽 y \in R

すべて偽 y \in R

以下の解はない : x \in R

すべて偽 x \in R

\frac{1}{2} < sin (x) < 1 : \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} < sin (x) < 1

a < u < b

の場合は

a < u and u < b

\frac{1}{2} < sin (x) and sin (x) < 1

\frac{1}{2} < sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} < sin (x)

辺を交換する

sin (x) > \frac{1}{2}

sin (x) > a

では,

- 1 \leq a < 1

の場合は

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

簡素化

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

簡素化

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

簡素化

π - \frac{π}{6}

元を分数に変換する:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

類似した元を足す:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) < 1 : - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) < 1

sin (x) < a

では,

- 1 < a \leq 1

の場合は

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (1) + 2 πn < x < arcsin (1) + 2 πn

簡素化

- π - arcsin (1) : - \frac{3 π}{2}

- π - arcsin (1)

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{2}

簡素化

- π - \frac{π}{2}

元を分数に変換する:

π = \frac{π 2}{2}

= - \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 - π}{2}

類似した元を足す:

- 2 π - π = - 3 π

= \frac{- 3 π}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3 π}{2}

= - \frac{3 π}{2}

簡素化

arcsin (1) : \frac{π}{2}

arcsin (1)

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

区間を組み合わせる

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn and - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

重複している区間をマージする

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

区間を組み合わせる

すべて偽 x \in R or (\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn)

重複している区間をマージする

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

人気の例

pi/2-arctan(e^x)>0.0001

\frac{π}{2} - arctan (e^{x}) > 0.0001

tan(θ)-4/5 cos(θ)>0csc(θ)

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0 csc (θ)

cot(x)>-1/(sqrt(3))

cot (x) > - \frac{1}{3}

(cos(x)-1.5708)(cos(x)+1.5708)<= 0

(cos (x) - 1.5708) (cos (x) + 1.5708) \leq 0

cot (π - x) < - 1