English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

cos(2θ)-3sin(θ)-2>0

פתרון

cos (2 θ) - 3 sin (θ) - 2 > 0

פתרון

\frac{7 π}{6} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < θ < \frac{11 π}{6} + 2 πn

סימון מרווחים

(\frac{7 π}{6} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, \frac{11 π}{6} + 2 πn)

עשרוני

3.66519 \dots + 2 πn < θ < 4.71238 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < θ < 5.75958 \dots + 2 πn

צעדי פתרון

cos (2 θ) - 3 sin (θ) - 2 > 0

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

:השתמש בזהות הבאה

- 2 + 1 - 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) > 0

פשט

- 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) - 1 > 0

u = sin (θ) :

נניח ש

- 2 u^{2} - 3 u - 1 > 0

- 2 u^{2} - 3 u - 1 > 0 : - 1 < u < - \frac{1}{2}

- 2 u^{2} - 3 u - 1 > 0

- 2 u^{2} - 3 u - 1

פרק לגורמים את:

- (2 u + 1) (u + 1)

- 2 u^{2} - 3 u - 1

- 1

הוצא את הגורם המשותף

= - (2 u^{2} + 3 u + 1)

2 u^{2} + 3 u + 1

פרק לגורמים את:

(2 u + 1) (u + 1)

2 u^{2} + 3 u + 1

חלק הביטוי לקבוצות

2 u^{2} + 3 u + 1

הגדרה

Factors of

2 : 1, 2

2

Divisors (Factors)

Find the Prime factors of

2 : 2

2

הוא מספר ראשוני לכן פירוק לגורמים אינו אפשרי

2

= 2

Add 1

1

2

המחלקים של

1, 2

For every two factors such that

u * v = 2,

check if

u + v = 3

Check

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

נכון

u = 1, v = 2

Group into

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (2 u + 1)

= (2 u^{2} + u) + (2 u + 1)

u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

u

הוצא את הגורם

2 u^{2} + u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:הפעל את חוק החזקות

u^{2} = uu

= 2 uu + u

u

הוצא את הגורם המשותף

= u (2 u + 1)

= u (2 u + 1) + (2 u + 1)

2 u + 1

הוצא את הגורם המשותף

= (2 u + 1) (u + 1)

= - (2 u + 1) (u + 1)

- (2 u + 1) (u + 1) > 0

Multiply both sides by

- 1

(reverse the inequality)

(- (2 u + 1) (u + 1)) (- 1) < 0 \cdot (- 1)

פשט

(2 u + 1) (u + 1) < 0

זהה את הטווחים השונים

(2 u + 1) (u + 1)

:חשב את הסימן לכל אחד מהגורמים עבור

2 u + 1

:חשב את הסימן עבור

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

2 u + 1 = 0

משני האגפים

1

החסר

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

פשט

2 u = - 1

2 u = - 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u = - 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

פשט

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

לצד ימין

1

העבר

2 u + 1 < 0

משני האגפים

1

החסר

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

פשט

2 u < - 1

2 u < - 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u < - 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

פשט

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

לצד ימין

1

העבר

2 u + 1 > 0

משני האגפים

1

החסר

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

פשט

2 u > - 1

2 u > - 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u > - 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

פשט

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

u + 1

:חשב את הסימן עבור

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

u + 1 = 0

משני האגפים

1

החסר

u + 1 - 1 = 0 - 1

פשט

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

לצד ימין

1

העבר

u + 1 < 0

משני האגפים

1

החסר

u + 1 - 1 < 0 - 1

פשט

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

לצד ימין

1

העבר

u + 1 > 0

משני האגפים

1

החסר

u + 1 - 1 > 0 - 1

פשט

u > - 1

u > - 1

סכם בטבלה

2 u + 1 u + 1 (2 u + 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < - \frac{1}{2} - + - u = - \frac{1}{2} 0 + 0 u > - \frac{1}{2} + + +

< 0 :

בחירת הטווחים המקיימים את התנאי

- 1 < u < - \frac{1}{2}

- 1 < u < - \frac{1}{2}

- 1 < u < - \frac{1}{2}

u = sin (θ)

החלף בחזרה

- 1 < sin (θ) < - \frac{1}{2}

a < u and u < b

אז

a < u < b

אם

- 1 < sin (θ) and sin (θ) < - \frac{1}{2}

- 1 < sin (θ) : - \frac{π}{2} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

- 1 < sin (θ)

הפוך את האגפים

sin (θ) > - 1

For

sin (x) > a

, if

- 1 \leq a < 1

then

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- 1) + 2 πn < θ < π - arcsin (- 1) + 2 πn

arcsin (- 1)

פשט את:

- \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

arcsin (- x) = - arcsin (x) :

השתמש בחוק הבא

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

π - arcsin (- 1)

פשט את:

\frac{3 π}{2}

π - arcsin (- 1)

arcsin (- 1) = - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

arcsin (- x) = - arcsin (x) :

השתמש בחוק הבא

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

= π - (- \frac{π}{2})

פשט

π - (- \frac{π}{2})

- (- a) = a

הפעל את החוק

= π + \frac{π}{2}

π = \frac{π 2}{2}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{π 2}{2} + \frac{π}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{π 2 + π}{2}

2 π + π = 3 π :

חבר איברים דומים

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) < - \frac{1}{2} : - \frac{5 π}{6} + 2 πn < θ < - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (θ) < - \frac{1}{2}

For

sin (x) < a

, if

- 1 < a \leq 1

then

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn < θ < arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2})

פשט את:

- \frac{5 π}{6}

- π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- x) = - arcsin (x) :

השתמש בחוק הבא

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6})

פשט

- π - (- \frac{π}{6})

- (- a) = a

הפעל את החוק

= - π + \frac{π}{6}

π = \frac{π 6}{6}

:המר את המספרים לשברים

= - \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{- π 6 + π}{6}

- 6 π + π = - 5 π :

חבר איברים דומים

= \frac{- 5 π}{6}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= - \frac{5 π}{6}

= - \frac{5 π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

פשט את:

- \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- x) = - arcsin (x) :

השתמש בחוק הבא

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{5 π}{6} + 2 πn < θ < - \frac{π}{6} + 2 πn

אחד את הטווחים

- \frac{π}{2} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn and - \frac{5 π}{6} + 2 πn < θ < - \frac{π}{6} + 2 πn

מזג טווחים חופפים

\frac{7 π}{6} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < θ < \frac{11 π}{6} + 2 πn

דוגמאות פופולריות

(1-2sin(x))(2cos(x)+sqrt(3))<= 0

(1 - 2 sin (x)) (2 cos (x) + 3) \leq 0

sqrt(3)cos(x)-1<0

3 cos (x) - 1 < 0

tan(x)>-sqrt(3)

tan (x) > - 3

(9sin(t)+1)/8 <= 2pi

\frac{9 sin ( t ) + 1}{8} \leq 2 π

(2cos(θ)+1)/(2sin(θ)-sqrt(3))>0

\frac{2 cos ( θ ) + 1}{2 sin ( θ ) - 3} > 0