English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

sqrt(3)cos(4x)+sin(4x)>sqrt(2)

الحلّ

3 cos (4 x) + sin (4 x) > 2

الحلّ

x \in R لا يوجد حلّ لـ

خطوات الحلّ

3 cos (4 x) + sin (4 x) > 2

u = 4 x :

على افتراض أنّ

3 cos (u) + sin (u) > 2

3 cos (u) + sin (u) > 2 : - \frac{π}{12} + 2 πn < u < \frac{5 π}{12} + 2 πn

3 cos (u) + sin (u) > 2

Rewrite using trig identities

2

اقسم الطرفين على

\frac{3 cos ( u ) + sin ( u )}{2} > \frac{2}{2}

\frac{3 cos ( u ) + sin ( u )}{2}

وسٌع:

\frac{3}{2} cos (u) + \frac{1}{2} sin (u)

\frac{3 cos ( u ) + sin ( u )}{2}

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

: استخدم ميزات الكسور التالية

\frac{3 cos ( u ) + sin ( u )}{2} = \frac{3 cos ( u )}{2} + \frac{sin ( u )}{2}

= \frac{3 cos ( u )}{2} + \frac{sin ( u )}{2}

= \frac{3}{2} cos (u) + \frac{1}{2} sin (u)

\frac{3}{2} cos (u) + \frac{1}{2} sin (u) > \frac{2}{2}

\frac{3}{2} = sin (\frac{π}{3})

sin (\frac{π}{3}) cos (u) + \frac{1}{2} sin (u) > \frac{2}{2}

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{3})

sin (\frac{π}{3}) cos (u) + cos (\frac{π}{3}) sin (u) > \frac{2}{2}

cos (s) sin (t) + cos (t) sin (s) = sin (s + t)

:استخدم المتطابقة التالية

sin (\frac{π}{3} + u) > \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{3} + u) > \frac{2}{2}

For

sin (x) > a

, if

- 1 \leq a < 1

then

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn < (\frac{π}{3} + u) < π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

a < u and u < b

إذًا

a < u < b

إذا تحقّق أنّ

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn < \frac{π}{3} + u and \frac{π}{3} + u < π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn < \frac{π}{3} + u : u > 2 πn - \frac{π}{12}

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn < \frac{π}{3} + u

بدّل الأطراف

\frac{π}{3} + u > arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

بسّط:

\frac{π}{4} + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4} + 2 πn

\frac{π}{3} + u > \frac{π}{4} + 2 πn

انقل

\frac{π}{3}

إلى الجانب الأيمن

\frac{π}{3} + u > \frac{π}{4} + 2 πn

من الطرفين

\frac{π}{3}

اطرح

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3} > \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3}

بسّط

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3} > \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3}

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3}

بسّط:

u

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3}

\frac{π}{3} - \frac{π}{3} > 0 :

اجمع العناصر المتشابهة

= u

\frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3}

بسّط:

2 πn - \frac{π}{12}

\frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3}

جمّع التعابير المتشابهة

= 2 πn + \frac{π}{4} - \frac{π}{3}

4, 3

المضاعف المشترك الأصغر لـ:

12

4, 3

المضاعف المشترك الأصغر

4

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

2 \cdot 2

4

4 = 2 \cdot 2, 2

ينقسم على

4

= 2 \cdot 2

3

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

3

3

هو عدد أوّليّ لذلك لا يمكن تحليله لعوامل أوّليّة

3

= 3

3

أو

4

احسب عدد مركّب من عوامل أوّليّة تظهر في

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 :

اضرب الأعداد

= 12

اكتب مجددًا الكسور بحيث يكون المقام مشترك

12

اضرب كل بسط ومقام بتعبير الذي يؤدّي إلى مقام مشترك

For

\frac{π}{4} :

multiply the denominator and numerator by

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

For

\frac{π}{3} :

multiply the denominator and numerator by

4

\frac{π}{3} = \frac{π 4}{3 \cdot 4} = \frac{π 4}{12}

= \frac{π 3}{12} - \frac{π 4}{12}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{π 3 - π 4}{12}

3 π - 4 π = - π :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{- π}{12}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= 2 πn - \frac{π}{12}

u > 2 πn - \frac{π}{12}

u > 2 πn - \frac{π}{12}

u > 2 πn - \frac{π}{12}

\frac{π}{3} + u < π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : u < \frac{5 π}{12} + 2 πn

\frac{π}{3} + u < π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

بسّط:

π - \frac{π}{4} + 2 πn

π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{4} + 2 πn

\frac{π}{3} + u < π - \frac{π}{4} + 2 πn

انقل

\frac{π}{3}

إلى الجانب الأيمن

\frac{π}{3} + u < π - \frac{π}{4} + 2 πn

من الطرفين

\frac{π}{3}

اطرح

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3} < π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3}

بسّط

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3} < π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3}

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3}

بسّط:

u

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3}

\frac{π}{3} - \frac{π}{3} < 0 :

اجمع العناصر المتشابهة

= u

π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3}

بسّط:

π + 2 πn - \frac{7 π}{12}

π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3}

جمّع التعابير المتشابهة

= π + 2 πn - \frac{π}{4} - \frac{π}{3}

4, 3

المضاعف المشترك الأصغر لـ:

12

4, 3

المضاعف المشترك الأصغر

4

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

2 \cdot 2

4

4 = 2 \cdot 2, 2

ينقسم على

4

= 2 \cdot 2

3

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

3

3

هو عدد أوّليّ لذلك لا يمكن تحليله لعوامل أوّليّة

3

= 3

3

أو

4

احسب عدد مركّب من عوامل أوّليّة تظهر في

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 :

اضرب الأعداد

= 12

اكتب مجددًا الكسور بحيث يكون المقام مشترك

12

اضرب كل بسط ومقام بتعبير الذي يؤدّي إلى مقام مشترك

For

\frac{π}{4} :

multiply the denominator and numerator by

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

For

\frac{π}{3} :

multiply the denominator and numerator by

4

\frac{π}{3} = \frac{π 4}{3 \cdot 4} = \frac{π 4}{12}

= - \frac{π 3}{12} - \frac{π 4}{12}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{- π 3 - π 4}{12}

- 3 π - 4 π = - 7 π :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{- 7 π}{12}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= π + 2 πn - \frac{7 π}{12}

u < π + 2 πn - \frac{7 π}{12}

u < π + 2 πn - \frac{7 π}{12}

u < π + 2 πn - \frac{7 π}{12}

π - \frac{7 π}{12}

بسّط:

\frac{5 π}{12}

π - \frac{7 π}{12}

π = \frac{π 12}{12}

:حوّل الأعداد لكسور

= \frac{π 12}{12} - \frac{7 π}{12}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{π 12 - 7 π}{12}

12 π - 7 π = 5 π :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{5 π}{12}

u < \frac{5 π}{12} + 2 πn

وحّد المقاطع

u > 2 πn - \frac{π}{12} and u < \frac{5 π}{12} + 2 πn

ادمج المجالات المتطابقة

- \frac{π}{12} + 2 πn < u < \frac{5 π}{12} + 2 πn

- \frac{π}{12} + 2 πn < u < \frac{5 π}{12} + 2 πn

4 x = u

استبدل مجددًا

- \frac{π}{12} + 2 πn < 4 x < \frac{5 π}{12} + 2 πn

- \frac{π}{12} + 2 πn < 4 x < \frac{5 π}{12} + 2 πn : x \in R

لا يتحقّق لكلّ

- \frac{π}{12} + 2 πn < 4 x < \frac{5 π}{12} + 2 πn

a < u and u < b

إذًا

a < u < b

إذا تحقّق أنّ

- \frac{π}{12} + 2 πn < 4 x and 4 x < \frac{5 π}{12} + 2 πn

- \frac{π}{12} + 2 πn < 4 x : x > - \frac{π}{48} + \frac{πn}{2}

- \frac{π}{12} + 2 πn < 4 x

بدّل الأطراف

4 x > - \frac{π}{12} + 2 πn

4

اقسم الطرفين على

4 x > - \frac{π}{12} + 2 πn

4

اقسم الطرفين على

\frac{4 x}{4} > - \frac{\frac{π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4}

بسّط

\frac{4 x}{4} > - \frac{\frac{π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4}

\frac{4 x}{4}

بسّط:

x

\frac{4 x}{4}

\frac{4}{4} = 1 :

اقسم الأعداد

= x

- \frac{\frac{π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4}

بسّط:

- \frac{π}{48} + \frac{πn}{2}

- \frac{\frac{π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4}

\frac{\frac{π}{12}}{4} = \frac{π}{48}

\frac{\frac{π}{12}}{4}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= \frac{π}{12 \cdot 4}

12 \cdot 4 = 48 :

اضرب الأعداد

= \frac{π}{48}

\frac{2 πn}{4} = \frac{πn}{2}

\frac{2 πn}{4}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{πn}{2}

= - \frac{π}{48} + \frac{πn}{2}

x > - \frac{π}{48} + \frac{πn}{2}

x > - \frac{π}{48} + \frac{πn}{2}

x > - \frac{π}{48} + \frac{πn}{2}

4 x < \frac{5 π}{12} + 2 πn : x < \frac{5 π}{48} + \frac{πn}{2}

4 x < \frac{5 π}{12} + 2 πn

4

اقسم الطرفين على

4 x < \frac{5 π}{12} + 2 πn

4

اقسم الطرفين على

\frac{4 x}{4} < \frac{\frac{5 π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4}

بسّط

\frac{4 x}{4} < \frac{\frac{5 π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4}

\frac{4 x}{4}

بسّط:

x

\frac{4 x}{4}

\frac{4}{4} = 1 :

اقسم الأعداد

= x

\frac{\frac{5 π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4}

بسّط:

\frac{5 π}{48} + \frac{πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4}

\frac{\frac{5 π}{12}}{4} = \frac{5 π}{48}

\frac{\frac{5 π}{12}}{4}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= \frac{5 π}{12 \cdot 4}

12 \cdot 4 = 48 :

اضرب الأعداد

= \frac{5 π}{48}

\frac{2 πn}{4} = \frac{πn}{2}

\frac{2 πn}{4}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{πn}{2}

= \frac{5 π}{48} + \frac{πn}{2}

x < \frac{5 π}{48} + \frac{πn}{2}

x < \frac{5 π}{48} + \frac{πn}{2}

x < \frac{5 π}{48} + \frac{πn}{2}

وحّد المقاطع

x > - \frac{π}{48} + \frac{π}{2} n and x < \frac{5 π}{48} + \frac{π}{2} n

ادمج المجالات المتطابقة

x \in R لا يتحقّق لكلّ

x \in R لا يوجد حلّ لـ

أمثلة شائعة

sin(5x)>5,0<= x<= 2pi

sin (5 x) > 5, 0 \leq x \leq 2 π

-cos(x)<=-sin(2x)

- cos (x) \leq - sin (2 x)

cos(y)>-1

cos (y) > - 1

2cos(x)+cos^2(x)>0

2 cos (x) + cos^{2} (x) > 0

tan(x)>-2/3

tan (x) > - \frac{2}{3}