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sin^2(pix)>= 1/2

Solución

sin^{2} (π x) \geq \frac{1}{2}

Solución

\frac{1}{4} + 2 n \leq x \leq \frac{3}{4} + 2 n or - \frac{3}{4} + 2 n \leq x \leq - \frac{1}{4} + 2 n

Notación de intervalos

[\frac{1}{4} + 2 n, \frac{3}{4} + 2 n] \cup [- \frac{3}{4} + 2 n, - \frac{1}{4} + 2 n]

Notación decimal

0.25 + 2 n \leq x \leq 0.75 + 2 n or - 0.75 + 2 n \leq x \leq - 0.25 + 2 n

Pasos de solución

sin^{2} (π x) \geq \frac{1}{2}

Para

u^{n} \geq a

, si

n

es par entonces

sin (π x) \leq - \frac{1}{2} or sin (π x) \geq \frac{1}{2}

sin (π x) \leq - \frac{1}{2} : - \frac{3}{4} + 2 n \leq x \leq - \frac{1}{4} + 2 n

sin (π x) \leq - \frac{1}{2}

Para

sin (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x and π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x : x \geq - \frac{3}{4} + 2 n

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x

Intercambiar lados

π x \geq - π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : - π + \frac{π}{4} + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{4}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utilizar la siguiente propiedad:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{4}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

= - π - (- \frac{π}{4}) + 2 πn

Aplicar la regla

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{4} + 2 πn

π x \geq - π + \frac{π}{4} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

π

π x \geq - π + \frac{π}{4} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

π

\frac{π x}{π} \geq - \frac{π}{π} + \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π}

Simplificar

\frac{π x}{π} \geq - \frac{π}{π} + \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π}

Simplificar

\frac{π x}{π} : x

\frac{π x}{π}

Eliminar los terminos comunes:

π

= x

Simplificar

- \frac{π}{π} + \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π} : - 1 + \frac{1}{4} + 2 n

- \frac{π}{π} + \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

\frac{π}{π} = 1

= - 1 + \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π}

\frac{\frac{π}{4}}{π} = \frac{1}{4}

\frac{\frac{π}{4}}{π}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{4 π}

Eliminar los terminos comunes:

π

= \frac{1}{4}

\frac{2 πn}{π} = 2 n

\frac{2 πn}{π}

Eliminar los terminos comunes:

π

= 2 n

= - 1 + \frac{1}{4} + 2 n

x \geq - 1 + \frac{1}{4} + 2 n

x \geq - 1 + \frac{1}{4} + 2 n

Simplificar

- 1 + \frac{1}{4} : - \frac{3}{4}

- 1 + \frac{1}{4}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= - \frac{1 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{4}

- 1 \cdot 4 + 1 = - 3

- 1 \cdot 4 + 1

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= - 4 + 1

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 1 = - 3

= - 3

= \frac{- 3}{4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{4}

x \geq - \frac{3}{4} + 2 n

x \geq - \frac{3}{4} + 2 n

π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq - \frac{1}{4} + 2 n

π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : - \frac{π}{4} + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{4}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utilizar la siguiente propiedad:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{4}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4} + 2 πn

π x \leq - \frac{π}{4} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

π

π x \leq - \frac{π}{4} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

π

\frac{π x}{π} \leq - \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π}

Simplificar

\frac{π x}{π} \leq - \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π}

Simplificar

\frac{π x}{π} : x

\frac{π x}{π}

Eliminar los terminos comunes:

π

= x

Simplificar

- \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π} : - \frac{1}{4} + 2 n

- \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π}

\frac{\frac{π}{4}}{π} = \frac{1}{4}

\frac{\frac{π}{4}}{π}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{4 π}

Eliminar los terminos comunes:

π

= \frac{1}{4}

\frac{2 πn}{π} = 2 n

\frac{2 πn}{π}

Eliminar los terminos comunes:

π

= 2 n

= - \frac{1}{4} + 2 n

x \leq - \frac{1}{4} + 2 n

x \leq - \frac{1}{4} + 2 n

x \leq - \frac{1}{4} + 2 n

Combinar los rangos

x \geq - \frac{3}{4} + 2 n and x \leq - \frac{1}{4} + 2 n

Mezclar intervalos sobrepuestos

- \frac{3}{4} + 2 n \leq x \leq - \frac{1}{4} + 2 n

sin (π x) \geq \frac{1}{2} : \frac{1}{4} + 2 n \leq x \leq \frac{3}{4} + 2 n

sin (π x) \geq \frac{1}{2}

Para

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x and π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x : x \geq \frac{1}{4} + 2 n

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x

Intercambiar lados

π x \geq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : \frac{π}{4} + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4} + 2 πn

π x \geq \frac{π}{4} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

π

π x \geq \frac{π}{4} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

π

\frac{π x}{π} \geq \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π}

Simplificar

\frac{π x}{π} \geq \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π}

Simplificar

\frac{π x}{π} : x

\frac{π x}{π}

Eliminar los terminos comunes:

π

= x

Simplificar

\frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π} : \frac{1}{4} + 2 n

\frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π}

\frac{\frac{π}{4}}{π} = \frac{1}{4}

\frac{\frac{π}{4}}{π}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{4 π}

Eliminar los terminos comunes:

π

= \frac{1}{4}

\frac{2 πn}{π} = 2 n

\frac{2 πn}{π}

Eliminar los terminos comunes:

π

= 2 n

= \frac{1}{4} + 2 n

x \geq \frac{1}{4} + 2 n

x \geq \frac{1}{4} + 2 n

x \geq \frac{1}{4} + 2 n

π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq \frac{3}{4} + 2 n

π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : π - \frac{π}{4} + 2 πn

π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{4} + 2 πn

π x \leq π - \frac{π}{4} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

π

π x \leq π - \frac{π}{4} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

π

\frac{π x}{π} \leq \frac{π}{π} - \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π}

Simplificar

\frac{π x}{π} \leq \frac{π}{π} - \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π}

Simplificar

\frac{π x}{π} : x

\frac{π x}{π}

Eliminar los terminos comunes:

π

= x

Simplificar

\frac{π}{π} - \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π} : 1 - \frac{1}{4} + 2 n

\frac{π}{π} - \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

\frac{π}{π} = 1

= 1 - \frac{\frac{π}{4}}{π} + \frac{2 πn}{π}

\frac{\frac{π}{4}}{π} = \frac{1}{4}

\frac{\frac{π}{4}}{π}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{4 π}

Eliminar los terminos comunes:

π

= \frac{1}{4}

\frac{2 πn}{π} = 2 n

\frac{2 πn}{π}

Eliminar los terminos comunes:

π

= 2 n

= 1 - \frac{1}{4} + 2 n

x \leq 1 - \frac{1}{4} + 2 n

x \leq 1 - \frac{1}{4} + 2 n

Simplificar

1 - \frac{1}{4} : \frac{3}{4}

1 - \frac{1}{4}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - 1}{4}

1 \cdot 4 - 1 = 3

1 \cdot 4 - 1

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= 4 - 1

Restar:

4 - 1 = 3

= 3

= \frac{3}{4}

x \leq \frac{3}{4} + 2 n

x \leq \frac{3}{4} + 2 n

Combinar los rangos

x \geq \frac{1}{4} + 2 n and x \leq \frac{3}{4} + 2 n

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{1}{4} + 2 n \leq x \leq \frac{3}{4} + 2 n

Combinar los rangos

- \frac{3}{4} + 2 n \leq x \leq - \frac{1}{4} + 2 n or \frac{1}{4} + 2 n \leq x \leq \frac{3}{4} + 2 n

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{1}{4} + 2 n \leq x \leq \frac{3}{4} + 2 n or - \frac{3}{4} + 2 n \leq x \leq - \frac{1}{4} + 2 n

Ejemplos populares

4sin(2x)+3cos(x)<= 1

4 sin (2 x) + 3 cos (x) \leq 1

2sin^2(x)+cos(x)-1>= 0

2 sin^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

(2sin(x)-1)/(3cos(x))<= 0

\frac{2 sin ( x ) - 1}{3 cos ( x )} \leq 0

sin(2x)-1/2 <0

sin (2 x) - \frac{1}{2} < 0

cos^2(x)> 1/4 ,0<= x<= 2pi

cos^{2} (x) > \frac{1}{4}, 0 \leq x \leq 2 π