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sec^3(x)+sec(x)tan^2(x)>0

Solución

sec^{3} (x) + sec (x) tan^{2} (x) > 0

Solución

2 πn \leq x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x \leq 2 π + 2 πn

Notación de intervalos

[2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, 2 π + 2 πn]

Notación decimal

2 πn \leq x < 1.57079 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < x \leq 6.28318 \dots + 2 πn

Pasos de solución

sec^{3} (x) + sec (x) tan^{2} (x) > 0

Periodicidad de

sec^{3} (x) + sec (x) tan^{2} (x) : 2 π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

sec^{3} (x), sec (x) tan^{2} (x)

Periodicidad de

sec^{3} (x) : 2 π

La periodicidad de

sec^{n} (x) =

La periodicidad de

sec (x),

si n es impar

Periodicidad de

sec (x) : 2 π

La periodicidad de

: sec (x)

2 π

= 2 π

2 π

Periodicidad de

sec (x) tan^{2} (x) : 2 π

sec (x) tan^{2} (x)

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

sec (x)

con periodicidad de

2 π

La periodicidad compuesta es:

2 π

Combinar períodos:

2 π, 2 π

= 2 π

Expresar con seno, coseno

sec^{3} (x) + sec (x) tan^{2} (x) > 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{3} + \frac{1}{cos ( x )} tan^{2} (x) > 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{3} + \frac{1}{cos ( x )} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} > 0

(\frac{1}{cos ( x )})^{3} + \frac{1}{cos ( x )} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} > 0

Simplificar

(\frac{1}{cos ( x )})^{3} + \frac{1}{cos ( x )} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} : \frac{1 + sin ^{2} ( x )}{cos ^{3} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{3} + \frac{1}{cos ( x )} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

(\frac{1}{cos ( x )})^{3} = \frac{1}{cos ^{3} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{3}}{cos ^{3} ( x )}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{3} = 1

= \frac{1}{cos ^{3} ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{3} ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{cos ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

= \frac{( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{cos ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}{cos ( x )}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) cos ( x )}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{3} (x)

cos^{2} (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= cos^{2 + 1} (x)

Sumar:

2 + 1 = 3

= cos^{3} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{3} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{3} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{3} ( x )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ^{2} ( x )}{cos ^{3} ( x )}

\frac{1 + sin ^{2} ( x )}{cos ^{3} ( x )} > 0

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{1 + sin ^{2} ( x )}{cos ^{3} ( x )}

para

0 \leq x < 2 π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{1 + sin ^{2} ( x )}{cos ^{3} ( x )} = 0

\frac{1 + sin ^{2} ( x )}{cos ^{3} ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π :

Sin solución para

x \in R

\frac{1 + sin ^{2} ( x )}{cos ^{3} ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 + sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

1 + sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

1 + u^{2} = 0

1 + u^{2} = 0 : u = i, u = - i

1 + u^{2} = 0

Mover

1

al lado derecho

1 + u^{2} = 0

Restar

1

de ambos lados

1 + u^{2} - 1 = 0 - 1

Simplificar

u^{2} = - 1

u^{2} = - 1

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = - 1, u = - - 1

Simplificar

- 1 : i

- 1

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= i

Simplificar

- - 1 : - i

- - 1

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= - i

u = i, u = - i

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = i, sin (x) = - i

sin (x) = i, sin (x) = - i

sin (x) = i, 0 \leq x < 2 π :

Sin solución

sin (x) = i, 0 \leq x < 2 π

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (x) = - i, 0 \leq x < 2 π :

Sin solución

sin (x) = - i, 0 \leq x < 2 π

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Encontrar los puntos indefinidos:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Encontrar los ceros del denominador

cos^{3} (x) = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

cos (x) = 0

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}

Identificar los intervalos

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π

Resumir en una tabla:

1 + sin^{2} (x) cos^{3} (x) \frac{1 + s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{3} ( x )} x = 0 + + + 0 < x < \frac{π}{2} + + + x = \frac{π}{2} + 0 Sin definir \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2} + - - x = \frac{3 π}{2} + 0 Sin definir \frac{3 π}{2} < x < 2 π + + + x = 2 π + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

x = 0 or 0 < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < x < 2 π or x = 2 π

Mezclar intervalos sobrepuestos

0 \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < x < 2 π or x = 2 π

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

x = 0

0 < x < \frac{π}{2}

0 \leq x < \frac{π}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

0 \leq x < \frac{π}{2}

\frac{3 π}{2} < x < 2 π

0 \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < x < 2 π

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

0 \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < x < 2 π

x = 2 π

0 \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < x \leq 2 π

0 \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < x \leq 2 π

Utilizar la periodicidad de

sec^{3} (x) + sec (x) tan^{2} (x)

2 πn \leq x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x \leq 2 π + 2 πn

Ejemplos populares

12cos(2x)<0

12 cos (2 x) < 0

0.86<= cos^{2(9)}((68)/n)

0.86 \leq cos^{2 (9)} (\frac{68}{n})

cos(x)<= 1+sin(x)

cos (x) \leq 1 + sin (x)

cos(2x)>= sin^2(x)-2

cos (2 x) \geq sin^{2} (x) - 2

cos(θ)<0,csc(θ)<0

cos (θ) < 0, csc (θ) < 0