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9^{1+sin^2(pix)}+30*9^{cos^2(pix)}<= 117

Solução

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{c o s^{2} (π x)} \leq 117

Solução

Falso para todo x \in R

Passos da solução

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{c o s^{2} (π x)} \leq 117

Usar a seguinte identidade:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Portanto

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)} \leq 117

Simplificar

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)} : 9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)}

30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)} = 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)}

Fatorar o inteiro

30 = 3 \cdot 10

= 3 \cdot 10 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)}

Fatorar o inteiro

9 = 3^{2}

= 3 \cdot 10 (3^{2})^{1 - s i n^{2} (π x)}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(3^{2})^{1 - s i n^{2} (π x)} = 3^{2 (1 - s i n^{2} (π x))}

= 3 \cdot 10 \cdot 3^{2 (1 - s i n^{2} (π x))}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

3 \cdot 3^{2 (1 - s i n^{2} (π x))} = 3^{1 + 2 (- s i n^{2} (π x) + 1)}

= 10 \cdot 3^{1 + 2 (1 - s i n^{2} (π x))}

3^{1 + 2 (1 - s i n^{2} (π x))} = 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

3^{1 + 2 (1 - s i n^{2} (π x))}

Expandir

1 + 2 (1 - sin^{2} (π x)) : - 2 sin^{2} (π x) + 3

1 + 2 (1 - sin^{2} (π x))

Expandir

2 (1 - sin^{2} (π x)) : 2 - 2 sin^{2} (π x)

2 (1 - sin^{2} (π x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = sin^{2} (π x)

= 2 \cdot 1 - 2 sin^{2} (π x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 sin^{2} (π x)

= 1 + 2 - 2 sin^{2} (π x)

Somar:

1 + 2 = 3

= - 2 sin^{2} (π x) + 3

= 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

= 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

= 9^{s i n^{2} (π x) + 1} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} \leq 117

Aplicar as propriedades dos expoentes

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} \leq 117

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

9^{1 + s i n^{2} (π x)} = 9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} \leq 117

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b - c} = \frac{a ^{b}}{a ^{c}}

3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} = \frac{3 ^{3}}{3 ^{2 s i n^{2} (π x)}}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot \frac{3 ^{3}}{3 ^{2 s i n^{2} (π x)}} \leq 117

f (x) > 0

nós podemos multiplicar ou dividir ambos os lados da desigualdade por

f (x)

3^{2 s i n^{2} (π x)}

é maior que

0

para todo

x

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot \frac{3 ^{3}}{3 ^{2 s i n^{2} (π x)}} \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)} \leq 117 \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)}

Simplificar

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)} + 270 \leq 117 \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

3^{2 s i n^{2} (π x)} = (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

3^{2 s i n^{2} (π x)} = (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

Reescrever

9^{s i n^{2} (π x)}

como

3^{2 s i n^{2} (π x)}

9^{s i n^{2} (π x)}

9 = 3^{2}

= (3^{2})^{s i n^{2} (π x)}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(3^{2})^{s i n^{2} (π x)} = 3^{2 s i n^{2} (π x)}

= 3^{2 s i n^{2} (π x)}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

3^{2 s i n^{2} (π x)} = (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

Considere

v = 3^{s i n^{2} (π x)}

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2}

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2} : - 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2}

Reescrever na forma geral

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2}

Simplificar

9 v^{2} v^{2} + 270 : 9 v^{4} + 270

9 v^{2} v^{2} + 270

9 v^{2} v^{2} = 9 v^{4}

9 v^{2} v^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

v^{2} v^{2} = v^{2 + 2}

= 9 v^{2 + 2}

Somar:

2 + 2 = 4

= 9 v^{4}

= 9 v^{4} + 270

9 v^{4} + 270 \leq 117 v^{2}

Subtrair

117 v^{2}

de ambos os lados

9 v^{4} + 270 - 117 v^{2} \leq 117 v^{2} - 117 v^{2}

Simplificar

9 v^{4} + 270 - 117 v^{2} \leq 0

Dividir ambos os lados por

9

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} \leq \frac{0}{9}

Simplificar

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} \leq \frac{0}{9} : v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} \leq \frac{0}{9}

Simplificar

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} : v^{4} - 13 v^{2} + 30

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9}

Dividir:

\frac{9}{9} = 1

= v^{4} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9}

Dividir:

\frac{270}{9} = 30

= v^{4} + 30 - \frac{117 v ^{2}}{9}

Dividir:

\frac{117}{9} = 13

= v^{4} + 30 - 13 v^{2}

Reescrever na forma geral

= v^{4} - 13 v^{2} + 30

\frac{0}{9} = 0

\frac{0}{9}

Aplicar a regra

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

Fatorar

v^{4} - 13 v^{2} + 30 : (v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10)

v^{4} - 13 v^{2} + 30

Considere

u = v^{2}

= u^{2} - 13 u + 30

Fatorar

u^{2} - 13 u + 30 : (u - 3) (u - 10)

u^{2} - 13 u + 30

Fatorar a expressão

u^{2} - 13 u + 30

Definição

Fatores de

30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

30

Divisores (fatores)

Encontre os fatores primos de

30 : 2, 3, 5

30

30

dividida por

230 = 15 \cdot 2

= 2 \cdot 15

15

dividida por

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 3 \cdot 5

Multiplique os fatores primos de

30 : 6, 10, 15

2 \cdot 3 = 6

2 \cdot 5 = 10

6, 10, 15

6, 10, 15

Adicione os fatores primos:

2, 3, 5

Adicione 1 e o próprio número

30

1, 30

Divisores de

30

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Fatores negativos de

30 : - 1, - 2, - 3, - 5, - 6, - 10, - 15, - 30

Multiplicar os números por

- 1

para obter divisores negativos

- 1, - 2, - 3, - 5, - 6, - 10, - 15, - 30

Para cada dois fatores tais que

u * v = 30,

verifique se

u + v = - 13

Verifique

u = 1, v = 30 : u * v = 30, u + v = 31 \Rightarrow

FalsoVerifique

u = 2, v = 15 : u * v = 30, u + v = 17 \Rightarrow

Falso

u = - 3, v = - 10

Agrupe em

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} - 3 u) + (- 10 u + 30)

= (u^{2} - 3 u) + (- 10 u + 30)

Fatorar

u

u^{2} - 3 u

u (u - 3)

u^{2} - 3 u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - 3 u

Fatorar o termo comum

u

= u (u - 3)

Fatorar

- 10

- 10 u + 30

- 10 (u - 3)

- 10 u + 30

Reescrever

30

como

10 \cdot 3

= - 10 u + 10 \cdot 3

Fatorar o termo comum

- 10

= - 10 (u - 3)

= u (u - 3) - 10 (u - 3)

Fatorar o termo comum

u - 3

= (u - 3) (u - 10)

= (u - 3) (u - 10)

Substituir na equação

u = v^{2}

= (v^{2} - 3) (v^{2} - 10)

Fatorar

v^{2} - 3 : (v + 3) (v - 3)

v^{2} - 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= v^{2} - (3)^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

v^{2} - (3)^{2} = (v + 3) (v - 3)

= (v + 3) (v - 3)

= (v + 3) (v - 3) (v^{2} - 10)

Fatorar

v^{2} - 10 : (v + 10) (v - 10)

v^{2} - 10

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = (a)^{2}

10 = (10)^{2}

= v^{2} - (10)^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

v^{2} - (10)^{2} = (v + 10) (v - 10)

= (v + 10) (v - 10)

= (v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10)

(v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10) \leq 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

(v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10)

Encontre os sinais de

v + 3

v + 3 = 0 : v = - 3

v + 3 = 0

Mova

3

para o lado direito

v + 3 = 0

Subtrair

3

de ambos os lados

v + 3 - 3 = 0 - 3

Simplificar

v = - 3

v = - 3

v + 3 < 0 : v < - 3

v + 3 < 0

Mova

3

para o lado direito

v + 3 < 0

Subtrair

3

de ambos os lados

v + 3 - 3 < 0 - 3

Simplificar

v < - 3

v < - 3

v + 3 > 0 : v > - 3

v + 3 > 0

Mova

3

para o lado direito

v + 3 > 0

Subtrair

3

de ambos os lados

v + 3 - 3 > 0 - 3

Simplificar

v > - 3

v > - 3

Encontre os sinais de

v - 3

v - 3 = 0 : v = 3

v - 3 = 0

Mova

3

para o lado direito

v - 3 = 0

Adicionar

3

a ambos os lados

v - 3 + 3 = 0 + 3

Simplificar

v = 3

v = 3

v - 3 < 0 : v < 3

v - 3 < 0

Mova

3

para o lado direito

v - 3 < 0

Adicionar

3

a ambos os lados

v - 3 + 3 < 0 + 3

Simplificar

v < 3

v < 3

v - 3 > 0 : v > 3

v - 3 > 0

Mova

3

para o lado direito

v - 3 > 0

Adicionar

3

a ambos os lados

v - 3 + 3 > 0 + 3

Simplificar

v > 3

v > 3

Encontre os sinais de

v + 10

v + 10 = 0 : v = - 10

v + 10 = 0

Mova

10

para o lado direito

v + 10 = 0

Subtrair

10

de ambos os lados

v + 10 - 10 = 0 - 10

Simplificar

v = - 10

v = - 10

v + 10 < 0 : v < - 10

v + 10 < 0

Mova

10

para o lado direito

v + 10 < 0

Subtrair

10

de ambos os lados

v + 10 - 10 < 0 - 10

Simplificar

v < - 10

v < - 10

v + 10 > 0 : v > - 10

v + 10 > 0

Mova

10

para o lado direito

v + 10 > 0

Subtrair

10

de ambos os lados

v + 10 - 10 > 0 - 10

Simplificar

v > - 10

v > - 10

Encontre os sinais de

v - 10

v - 10 = 0 : v = 10

v - 10 = 0

Mova

10

para o lado direito

v - 10 = 0

Adicionar

10

a ambos os lados

v - 10 + 10 = 0 + 10

Simplificar

v = 10

v = 10

v - 10 < 0 : v < 10

v - 10 < 0

Mova

10

para o lado direito

v - 10 < 0

Adicionar

10

a ambos os lados

v - 10 + 10 < 0 + 10

Simplificar

v < 10

v < 10

v - 10 > 0 : v > 10

v - 10 > 0

Mova

10

para o lado direito

v - 10 > 0

Adicionar

10

a ambos os lados

v - 10 + 10 > 0 + 10

Simplificar

v > 10

v > 10

Resumir em uma tabela:

v + 3 v - 3 v + 10 v - 10 (v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10) v < - 10 - - - - + v = - 10 - - 0 - 0 - 10 < v < - 3 - - + - - v = - 3 0 - + - 0 - 3 < v < 3 + - + - + v = 3 + 0 + - 0 3 < v < 10 + + + - - v = 10 + + + 00 v > 10 + + + + +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

\leq 0

v = - 10 or - 10 < v < - 3 or v = - 3 or v = 3 or 3 < v < 10 or v = 10

Junte intervalos que se sobrepoem

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v < 10 or v = 10

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

v = - 10

- 10 < v < - 3

- 10 \leq v < - 3

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

- 10 \leq v < - 3

v = - 3

- 10 \leq v \leq - 3

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

- 10 \leq v \leq - 3

v = 3

- 10 \leq v \leq - 3 or v = 3

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

- 10 \leq v \leq - 3 or v = 3

3 < v < 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v < 10

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v < 10

v = 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

Substituir na equação

v = 3^{s i n^{2} (π x)}

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3 or 3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3 :

Falso para todo

x \in R

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} and 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} :

Verdadeiro para todo

x \in R

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)}

Trocar lados

3^{s i n^{2} (π x)} \geq - 10

Aplicar as propriedades dos expoentes

3^{s i n^{2} (π x)} \geq - 10

a > 0, a^{f (x)}

é maior do que 0

a = 3

Verdadeiro para todo x \in R

Verdadeiro para todo x

Verdadeiro para todo x \in R

3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3 :

Falso para todo

x \in R

3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

Aplicar as propriedades dos expoentes

3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

a > 0, a^{f (x)}

é maior do que 0

a = 3

Falso para todo x \in R

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Falso para todo x \in R

Combinar os intervalos

Verdadeiro para todo x \in R and Falso para todo x \in R

Junte intervalos que se sobrepoem

Verdadeiro para todo x \in R and Falso para todo x \in R

A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos

Verdadeiro para todo

x \in R

Falso para todo

x \in R

Falso para todo x \in R

Falso para todo x \in R

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10 :

Falso para todo

x \in R

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} and 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} : arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)}

Aplicar as propriedades dos expoentes

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)}

a > 1,

então

a^{f (x)} \leq a^{g (x)}

é equivalente a

f (x) \leq g (x)

a = 3, f (x) = \frac{1}{2}, g (x) = sin^{2} (π x)

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x)

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x)

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x) : arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x)

Trocar lados

sin^{2} (π x) \geq \frac{1}{2}

Para

u^{n} \geq a

, se

n

é par então

u \leq - n a or u \geq n a

sin (π x) \leq - \frac{1}{2} or sin (π x) \geq \frac{1}{2}

sin (π x) \leq - \frac{1}{2} : - π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

sin (π x) \leq - \frac{1}{2}

Para

sin (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

então

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

sin (π x) \geq \frac{1}{2} : arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

sin (π x) \geq \frac{1}{2}

Para

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

então

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Combinar os intervalos

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn or arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Junte intervalos que se sobrepoem

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10 :

Verdadeiro para todo

x \in R

3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

f (x) \leq g (x)

então

ln (f (x)) \leq ln (g (x))

ln (3^{s i n^{2} (π x)}) \leq ln (10)

Simplificar

ln (3^{s i n^{2} (π x)}) : ln (3) sin^{2} (π x)

ln (3^{s i n^{2} (π x)})

Aplicar as propriedades dos logaritmos

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x)

assumindo que

x \geq 0

= ln (3) sin^{2} (π x)

Simplificar

ln (10) : \frac{1}{2} ln (10)

ln (10)

Reescrever como

= ln (1 0^{\frac{1}{2}})

Aplicar as propriedades dos logaritmos

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x)

assumindo que

x \geq 0

= \frac{1}{2} ln (10)

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10)

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10) :

Verdadeiro para todo

x

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10)

Dividir ambos os lados por

ln (3)

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10)

Dividir ambos os lados por

ln (3)

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )} \leq \frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )}

Simplificar

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )} \leq \frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )}

Simplificar

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )} : sin^{2} (π x)

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )}

Eliminar o fator comum:

ln (3)

= sin^{2} (π x)

Simplificar

\frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )} : \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

\frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )}

Multiplicar

\frac{1}{2} ln (10) : \frac{ln ( 10 )}{2}

\frac{1}{2} ln (10)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ln ( 10 )}{2}

Multiplicar:

1 \cdot ln (10) = ln (10)

= \frac{ln ( 10 )}{2}

= \frac{\frac{l n ( 10 )}{2}}{ln ( 3 )}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

sin^{2} (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

sin^{2} (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

sin^{2} (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

Para

u^{n} \leq a

, se

n

é par então

- n a \leq u \leq n a

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x) and sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x) :

Verdadeiro para todo

x \in R

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x)

Trocar lados

sin (π x) \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

Imagem de

sin (π x) : - 1 \leq sin (π x) \leq 1

Definição de imagem de função

A imagem da função básica

sin

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

sin (π x) \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq sin (π x) \leq 1 : - 1 \leq sin (π x) \leq 1

Considere

y = sin (π x)

Combinar os intervalos

y \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

Junte intervalos que se sobrepoem

y \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos

y \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadeiro para todo x

Verdadeiro para todo x \in R

sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} :

Verdadeiro para todo

x \in R

sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

Imagem de

sin (π x) : - 1 \leq sin (π x) \leq 1

Definição de imagem de função

A imagem da função básica

sin

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq sin (π x) \leq 1 : - 1 \leq sin (π x) \leq 1

Considere

y = sin (π x)

Combinar os intervalos

y \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

Junte intervalos que se sobrepoem

y \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos

y \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadeiro para todo x

Verdadeiro para todo x \in R

Combinar os intervalos

Verdadeiro para todo x \in R and Verdadeiro para todo x \in R

Junte intervalos que se sobrepoem

Verdadeiro para todo x \in R and Verdadeiro para todo x \in R

A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos

Verdadeiro para todo

x \in R

Verdadeiro para todo

x \in R

Verdadeiro para todo x \in R

Verdadeiro para todo x

Verdadeiro para todo x

Combinar os intervalos

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn and Verdadeiro para todo x \in R

Junte intervalos que se sobrepoem

Falso para todo x \in R and Verdadeiro para todo x \in R

A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos

Falso para todo

x \in R

Verdadeiro para todo

x \in R

Falso para todo x \in R

Falso para todo x \in R

Combinar os intervalos

Falso para todo x \in R or Falso para todo x \in R

Junte intervalos que se sobrepoem

Falso para todo x \in R or Falso para todo x \in R

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

Falso para todo

x \in R

Falso para todo

x \in R

Falso para todo x \in R

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Falso para todo x \in R

Exemplos populares

sin(x)+cos(2x)>1

sin (x) + cos (2 x) > 1

cos(x)>= 4

cos (x) \geq 4

arctan(θ)<= (11pi)/9

arctan (θ) \leq \frac{11 π}{9}

2sin^2(x)-5sin(x)-3>= 0,xe[0,2pi]

2 sin^{2} (x) - 5 sin (x) - 3 \geq 0, x e [0, 2 π]

4tan(x)>4,-pi/2 <θ< pi/2

4 tan (x) > 4, - \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}