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Beliebt Trigonometrie >

(tan(x)+1)/(tan(x)-1)<= 0

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Lösung

tan(x)−1tan(x)+1​≤0

Lösung

πn≤x<4π​+πnor43π​+πn≤x<π+πn
+2
Intervall-Notation
[πn,4π​+πn)∪[43π​+πn,π+πn)
Dezimale
πn≤x<0.78539…+πnor2.35619…+πn≤x<3.14159…+πn
Schritte zur Lösung
tan(x)−1tan(x)+1​≤0
Angenommen: u=tan(x)u−1u+1​≤0
u−1u+1​≤0:−1≤u<1
u−1u+1​≤0
Identifiziere die Intervalle
Finde die Vorzeichen der Faktoren von u−1u+1​
Finde die Vorzeichen von u+1
u+1=0:u=−1
u+1=0
Verschiebe 1auf die rechte Seite
u+1=0
Subtrahiere 1 von beiden Seitenu+1−1=0−1
Vereinfacheu=−1
u=−1
u+1<0:u<−1
u+1<0
Verschiebe 1auf die rechte Seite
u+1<0
Subtrahiere 1 von beiden Seitenu+1−1<0−1
Vereinfacheu<−1
u<−1
u+1>0:u>−1
u+1>0
Verschiebe 1auf die rechte Seite
u+1>0
Subtrahiere 1 von beiden Seitenu+1−1>0−1
Vereinfacheu>−1
u>−1
Finde die Vorzeichen von u−1
u−1=0:u=1
u−1=0
Verschiebe 1auf die rechte Seite
u−1=0
Füge 1 zu beiden Seiten hinzuu−1+1=0+1
Vereinfacheu=1
u=1
u−1<0:u<1
u−1<0
Verschiebe 1auf die rechte Seite
u−1<0
Füge 1 zu beiden Seiten hinzuu−1+1<0+1
Vereinfacheu<1
u<1
u−1>0:u>1
u−1>0
Verschiebe 1auf die rechte Seite
u−1>0
Füge 1 zu beiden Seiten hinzuu−1+1>0+1
Vereinfacheu>1
u>1
Finde Singularitätspunkte
Finde die Nullstellen des Nenners u−1:u=1
u−1=0
Verschiebe 1auf die rechte Seite
u−1=0
Füge 1 zu beiden Seiten hinzuu−1+1=0+1
Vereinfacheu=1
u=1
Fasse in einer Tabelle zusammen:u+1u−1u−1u+1​​u<−1−−+​u=−10−0​−1<u<1+−−​u=1+0Unbestimmt​u>1+++​​
Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen: ≤0u=−1or−1<u<1
Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen
u=−1or−1<u<1
Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen
u=−1oder−1<u<1
−1≤u<1
−1≤u<1
−1≤u<1
−1≤u<1
Setze in u=tan(x)ein−1≤tan(x)<1
Wenn a≤u<bdann a≤uandu<b−1≤tan(x)andtan(x)<1
−1≤tan(x):−4π​+πn≤x<2π​+πn
−1≤tan(x)
Tausche die Seitentan(x)≥−1
Wenn tan(x)≥adann arctan(a)+πn≤x<2π​+πnarctan(−1)+πn≤x<2π​+πn
Vereinfache arctan(−1):−4π​
arctan(−1)
Verwende die folgende Eigenschaft: arctan(−x)=−arctan(x)arctan(−1)=−arctan(1)=−arctan(1)
Verwende die folgende triviale Identität:arctan(1)=4π​
arctan(1)
x033​​13​​arctan(x)06π​4π​3π​​arctan(x)0∘30∘45∘60∘​​
=4π​
=−4π​
−4π​+πn≤x<2π​+πn
tan(x)<1:−2π​+πn<x<4π​+πn
tan(x)<1
Wenn tan(x)<adann −2π​+πn<x<arctan(a)+πn−2π​+πn<x<arctan(1)+πn
Vereinfache arctan(1):4π​
arctan(1)
Verwende die folgende triviale Identität:arctan(1)=4π​x033​​13​​arctan(x)06π​4π​3π​​arctan(x)0∘30∘45∘60∘​​=4π​
−2π​+πn<x<4π​+πn
Kombiniere die Bereiche−4π​+πn≤x<2π​+πnand−2π​+πn<x<4π​+πn
Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammenπn≤x<4π​+πnor43π​+πn≤x<π+πn

Beliebte Beispiele

6sin^2(x)-5sin(x)+1<= 06sin2(x)−5sin(x)+1≤02sin(2x)+(1/2)>= 02sin(2x)+(21​)≥02cos(2x)-1>= 02cos(2x)−1≥0-cos(x)>=-sin(2x)−cos(x)≥−sin(2x)tan(x)>7tan(x)>7
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