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Popular Trigonometría >

(tan(x)+1)/(tan(x)-1)<= 0

Solución

\frac{tan ( x ) + 1}{tan ( x ) - 1} \leq 0

Solución

πn \leq x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq x < π + πn

Notación de intervalos

[πn, \frac{π}{4} + πn) \cup [\frac{3 π}{4} + πn, π + πn)

Decimal

πn \leq x < 0.78539 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn \leq x < 3.14159 \dots + πn

Pasos de solución

\frac{tan ( x ) + 1}{tan ( x ) - 1} \leq 0

Sea:

u = tan (x)

\frac{u + 1}{u - 1} \leq 0

\frac{u + 1}{u - 1} \leq 0 : - 1 \leq u < 1

\frac{u + 1}{u - 1} \leq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

\frac{u + 1}{u - 1}

Encontrar los signos de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

u > - 1

u > - 1

Encontrar los signos de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Encontrar puntos de singularidad

Encontrar los ceros del denominador

u - 1 : u = 1

u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Resumir en una tabla:

u + 1 u - 1 \frac{u + 1}{u - 1} u < - 1 - - + u = - 1 0 - 0 - 1 < u < 1 + - - u = 1 + 0 Sin definir u > 1 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

u = - 1 or - 1 < u < 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

u = - 1 or - 1 < u < 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u = - 1

- 1 < u < 1

- 1 \leq u < 1

- 1 \leq u < 1

- 1 \leq u < 1

- 1 \leq u < 1

Sustituir en la ecuación

u = tan (x)

- 1 \leq tan (x) < 1

a \leq u < b

entonces

a \leq u and u < b

- 1 \leq tan (x) and tan (x) < 1

- 1 \leq tan (x) : - \frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

- 1 \leq tan (x)

Intercambiar lados

tan (x) \geq - 1

tan (x) \geq a

entonces

arctan (a) + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

arctan (- 1) + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

Simplificar

arctan (- 1) : - \frac{π}{4}

arctan (- 1)

Utilizar la siguiente propiedad:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 1) = - arctan (1)

= - arctan (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arctan (1) = \frac{π}{4}

arctan (1)

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

- \frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < 1 : - \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

tan (x) < 1

tan (x) < a

entonces

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (1) + πn

Simplificar

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Combinar los rangos

- \frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

πn \leq x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq x < π + πn

Ejemplos populares

6sin^2(x)-5sin(x)+1<= 0

6 sin^{2} (x) - 5 sin (x) + 1 \leq 0

2sin(2x)+(1/2)>= 0

2 sin (2 x) + (\frac{1}{2}) \geq 0

2cos(2x)-1>= 0

2 cos (2 x) - 1 \geq 0

-cos(x)>=-sin(2x)

- cos (x) \geq - sin (2 x)

tan(x)>7

tan (x) > 7