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人気のある三角関数 >

sin(x)+cos^2(x)<= 1

解

sin (x) + cos^{2} (x) \leq 1

解

x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

+2

区間表記

x = \frac{π}{2} + 2 πn \cup [- π + 2 πn, 2 πn]

十進法表記

x = 1.57079 \dots + 2 πn or - 3.14159 \dots + 2 πn \leq x \leq 2 πn

解答ステップ

sin (x) + cos^{2} (x) \leq 1

次の恒等を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

このため

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

sin (x) + 1 - sin^{2} (x) \leq 1

仮定:

u = sin (x)

u + 1 - u^{2} \leq 1

u + 1 - u^{2} \leq 1 : u \leq 0 or u \geq 1

u + 1 - u^{2} \leq 1

標準的な形式で書き換える

u + 1 - u^{2} \leq 1

両辺から

1

を引く

u + 1 - u^{2} - 1 \leq 1 - 1

簡素化

- u^{2} + u \leq 0

- u^{2} + u \leq 0

因数

- u^{2} + u : - u (u - 1)

- u^{2} + u

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

共通項をくくり出す

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) \leq 0

両辺を

- 1

で乗じる (不等式を逆にする)

(- u (u - 1)) (- 1) \geq 0 \cdot (- 1)

簡素化

u (u - 1) \geq 0

区間を特定する

以下の因数の符号を求める:

u (u - 1)

以下の符号を求める:

u

u = 0

u < 0

u > 0

以下の符号を求める:

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

1

を右側に移動します

u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

1

を右側に移動します

u - 1 < 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 < 0 + 1

簡素化

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

1

を右側に移動します

u - 1 > 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 > 0 + 1

簡素化

u > 1

u > 1

表で要約する:

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

必要条件を満たす区間を特定する:

\geq 0

u < 0 or u = 0 or u = 1 or u > 1

重複している区間をマージする

u \leq 0 or u = 1 or u > 1

2つの区間の和集合は, 区間

u < 0

または

のいずれかの数の集合である

u = 0

u \leq 0

2つの区間の和集合は, 区間

u \leq 0

または

のいずれかの数の集合である

u = 1

u \leq 0 or u = 1

2つの区間の和集合は, 区間

u \leq 0 or u = 1

または

のいずれかの数の集合である

u > 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

代用を戻す

u = sin (x)

sin (x) \leq 0 or sin (x) \geq 1

sin (x) \leq 0 : - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \leq 0

sin (x) \leq a

では,

- 1 < a < 1

の場合は

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq arcsin (0) + 2 πn

簡素化

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

簡素化

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn \leq x \leq 0 + 2 πn

簡素化

- π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \geq 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \geq 1

sin (x) \geq a

では,

- 1 < a < 1

の場合は

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (1) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (1) + 2 πn

簡素化

arcsin (1) : \frac{π}{2}

arcsin (1)

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

簡素化

π - arcsin (1) : \frac{π}{2}

π - arcsin (1)

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{2}

簡素化

π - \frac{π}{2}

元を分数に変換する:

π = \frac{π 2}{2}

= \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π}{2}

類似した元を足す:

2 π - π = π

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

簡素化

x = \frac{π}{2} + 2 πn

区間を組み合わせる

- π + 2 πn \leq x \leq 2 πn or x = \frac{π}{2} + 2 πn

重複している区間をマージする

x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

人気の例

sin(3x-pi/6)+cos(3x-pi/6)>0

sin (3 x - \frac{π}{6}) + cos (3 x - \frac{π}{6}) > 0

sin^{2} (x) \leq 1

cot(x)+(sin(x))/(cos(x)-2)>= 0

cot (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x ) - 2} \geq 0

(2sin(2x)+sqrt(2))*tan(x)<0

(2 sin (2 x) + 2) \cdot tan (x) < 0

cos(x)<=-(sqrt(2))/2 ,-pi<= x<= pi

cos (x) \leq - \frac{2}{2}, - π \leq x \leq π