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Popular Trigonometria >

sin(x)+cos^2(x)<= 1

Solução

sin (x) + cos^{2} (x) \leq 1

Solução

x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

Notação de intervalo

x = \frac{π}{2} + 2 πn \cup [- π + 2 πn, 2 πn]

Decimal

x = 1.57079 \dots + 2 πn or - 3.14159 \dots + 2 πn \leq x \leq 2 πn

Passos da solução

sin (x) + cos^{2} (x) \leq 1

Usar a seguinte identidade:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Portanto

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

sin (x) + 1 - sin^{2} (x) \leq 1

Sea:

u = sin (x)

u + 1 - u^{2} \leq 1

u + 1 - u^{2} \leq 1 : u \leq 0 or u \geq 1

u + 1 - u^{2} \leq 1

Reescrever na forma geral

u + 1 - u^{2} \leq 1

Subtrair

1

de ambos os lados

u + 1 - u^{2} - 1 \leq 1 - 1

Simplificar

- u^{2} + u \leq 0

- u^{2} + u \leq 0

Fatorar

- u^{2} + u : - u (u - 1)

- u^{2} + u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

Fatorar o termo comum

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) \leq 0

Multiplique ambos os lados por

- 1

(inverta a desigualdade)

(- u (u - 1)) (- 1) \geq 0 \cdot (- 1)

Simplificar

u (u - 1) \geq 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

u (u - 1)

Encontre os sinais de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Encontre os sinais de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 < 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 > 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Resumir em uma tabela:

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

\geq 0

u < 0 or u = 0 or u = 1 or u > 1

Junte intervalos que se sobrepoem

u \leq 0 or u = 1 or u > 1

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

u < 0

u = 0

u \leq 0

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

u \leq 0

u = 1

u \leq 0 or u = 1

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

u \leq 0 or u = 1

u > 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) \leq 0 or sin (x) \geq 1

sin (x) \leq 0 : - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \leq 0

Para

sin (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

então

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq arcsin (0) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Simplificar

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn \leq x \leq 0 + 2 πn

Simplificar

- π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \geq 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \geq 1

Para

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

então

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (1) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (1) + 2 πn

Simplificar

arcsin (1) : \frac{π}{2}

arcsin (1)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Simplificar

π - arcsin (1) : \frac{π}{2}

π - arcsin (1)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{2}

Simplificar

π - \frac{π}{2}

Converter para fração:

π = \frac{π 2}{2}

= \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π}{2}

Somar elementos similares:

2 π - π = π

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Simplificar

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar os intervalos

- π + 2 πn \leq x \leq 2 πn or x = \frac{π}{2} + 2 πn

Junte intervalos que se sobrepoem

x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

Exemplos populares

sin(3x-pi/6)+cos(3x-pi/6)>0

sin (3 x - \frac{π}{6}) + cos (3 x - \frac{π}{6}) > 0

sin^2(x)<= 1

sin^{2} (x) \leq 1

cot(x)+(sin(x))/(cos(x)-2)>= 0

cot (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x ) - 2} \geq 0

(2sin(2x)+sqrt(2))*tan(x)<0

(2 sin (2 x) + 2) \cdot tan (x) < 0

cos(x)<=-(sqrt(2))/2 ,-pi<= x<= pi

cos (x) \leq - \frac{2}{2}, - π \leq x \leq π