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cos((3x)/2)cos(x/2)>= 0

Solución

cos (\frac{3 x}{2}) cos (\frac{x}{2}) \geq 0

Solución

x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or x = π + 2 πn or x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Notación de intervalos

(- \infty + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn] \cup x = π + 2 πn \cup [\frac{5 π}{3} + 2 πn, \infty + 2 πn)

Notación decimal

x \leq 1.04719 \dots + 2 πn or x = 3.14159 \dots + 2 πn or x \geq 5.23598 \dots + 2 πn

Pasos de solución

cos (\frac{3 x}{2}) cos (\frac{x}{2}) \geq 0

Sea:

u = \frac{x}{2}

cos (3 u) cos (u) \geq 0

cos (3 u) cos (u) \geq 0 : πn \leq u \leq \frac{π}{6} + πn or u = \frac{π}{2} + πn or \frac{5 π}{6} + πn \leq u \leq π + πn

cos (3 u) cos (u) \geq 0

Periodicidad de

cos (3 u) cos (u) : π

cos (3 u) cos (u)

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

cos (3 u)

con periodicidad de

\frac{2 π}{3}

La periodicidad compuesta es:

= π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

cos (3 u) cos (u) = 0

Resolver

cos (3 u) cos (u) = 0

para

0 \leq u < π

cos (3 u) cos (u) = 0

Resolver cada parte por separado

cos (3 u) = 0 : u = \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or u = \frac{5 π}{6}

cos (3 u) = 0, 0 \leq u < π

Soluciones generales para

cos (3 u) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

3 u = \frac{π}{2} + 2 πn, 3 u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

3 u = \frac{π}{2} + 2 πn, 3 u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Resolver

3 u = \frac{π}{2} + 2 πn : u = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

3 u = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

3 u = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 u}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 u}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Dividir:

\frac{3}{3} = 1

= u

Simplificar

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{2}}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

Resolver

3 u = \frac{3 π}{2} + 2 πn : u = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

3 u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

3 u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 u}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 u}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Dividir:

\frac{3}{3} = 1

= u

Simplificar

\frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{3 π}{2}}{3} = \frac{π}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{3 π}{6}

Eliminar los terminos comunes:

3

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}, u = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

Soluciones para el rango

0 \leq u < π

u = \frac{π}{6}, u = \frac{π}{2}, u = \frac{5 π}{6}

cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2}

cos (u) = 0, 0 \leq u < π

Soluciones generales para

cos (u) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq u < π

u = \frac{π}{2}

Combinar toda las soluciones

\frac{π}{6} or \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6}

Los intervalos entre ceros

0 < u < \frac{π}{6}, \frac{π}{6} < u < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < u < π

Resumir en una tabla:

cos (3 u) cos (u) cos (3 u) cos (u) u = 0 + + + 0 < u < \frac{π}{6} + + + u = \frac{π}{6} 0 + 0 \frac{π}{6} < u < \frac{π}{2} - + - u = \frac{π}{2} 000 \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6} + - - u = \frac{5 π}{6} 0 - 0 \frac{5 π}{6} < u < π - - + u = π - - +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\geq 0

u = 0 or 0 < u < \frac{π}{6} or u = \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or u = \frac{5 π}{6} or \frac{5 π}{6} < u < π or u = π

Mezclar intervalos sobrepuestos

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} \leq u < π or u = π