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Popular >

(cos(3x)-sqrt(3))/(cos(2x)+3cos(x)+2)>0

Solución

\frac{cos ( 3 x ) - 3}{cos ( 2 x ) + 3 cos ( x ) + 2} > 0

Solución

\frac{2 π}{3} + 2 πn < x < π + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Notación de intervalos

(\frac{2 π}{3} + 2 πn, π + 2 πn) \cup (π + 2 πn, \frac{4 π}{3} + 2 πn)

Notación decimal

2.09439 \dots + 2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn or 3.14159 \dots + 2 πn < x < 4.18879 \dots + 2 πn

Pasos de solución

\frac{cos ( 3 x ) - 3}{cos ( 2 x ) + 3 cos ( x ) + 2} > 0

Usar la siguiente identidad:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

\frac{cos ( 3 x ) - 3}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 3 cos ( x )} > 0

Periodicidad de

\frac{cos ( 3 x ) - 3}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 3 cos ( x )} : 2 π

\frac{cos ( 3 x ) - 3}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 3 cos ( x )}

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

cos (3 x)

con periodicidad de

\frac{2 π}{3}

La periodicidad compuesta es:

= 2 π

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{cos ( 3 x ) - 3}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 3 cos ( x )}

para

0 \leq x < 2 π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{cos ( 3 x ) - 3}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 3 cos ( x )} = 0

\frac{cos ( 3 x ) - 3}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 3 cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π :

Sin solución para

x \in R

\frac{cos ( 3 x ) - 3}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 3 cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (3 x) - 3 = 0

Mover

3

al lado derecho

cos (3 x) - 3 = 0

Sumar

3

a ambos lados

cos (3 x) - 3 + 3 = 0 + 3

Simplificar

cos (3 x) = 3

cos (3 x) = 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Encontrar los puntos indefinidos:

x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{4 π}{3}, x = π

Encontrar los ceros del denominador

2 + cos^{2} (x) - sin^{2} (x) + 3 cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

2 + cos^{2} (x) - sin^{2} (x) + 3 cos (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 2 + cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos (x)

Simplificar

2 + cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos (x) : 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) + 1

2 + cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos (x)

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= 2 + cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x) + 3 cos (x)

Simplificar

2 + cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x) + 3 cos (x) : 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) + 1

2 + cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x) + 3 cos (x)

Agrupar términos semejantes

= cos^{2} (x) + cos^{2} (x) + 3 cos (x) + 2 - 1

Sumar elementos similares:

cos^{2} (x) + cos^{2} (x) = 2 cos^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) + 2 - 1

Sumar/restar lo siguiente:

2 - 1 = 1

= 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) + 1

= 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) + 1

= 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) + 1

1 + 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

1 + 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

1 + 2 u^{2} + 3 u = 0

1 + 2 u^{2} + 3 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = - 1

1 + 2 u^{2} + 3 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 3 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} + 3 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = 3, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1

3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 3^{2} - 8

3^{2} = 9

= 9 - 8

Restar:

9 - 8 = 1

= 1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 1}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 3 + 1}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 3 - 1}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 3 + 1}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2 \cdot 2}

Sumar/restar lo siguiente:

- 3 + 1 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 3 - 1}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- 3 - 1}{2 \cdot 2}

Restar:

- 3 - 1 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{1}{2}, u = - 1

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = - 1

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = - 1

cos (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{4 π}{3}

cos (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{4 π}{3}

cos (x) = - 1, 0 \leq x < 2 π : x = π

cos (x) = - 1, 0 \leq x < 2 π

Soluciones generales para

cos (x) = - 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = π

Combinar toda las soluciones

x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{4 π}{3}, x = π

\frac{2 π}{3}, π, \frac{4 π}{3}

Identificar los intervalos

0 < x < \frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} < x < π, π < x < \frac{4 π}{3}, \frac{4 π}{3} < x < 2 π

Resumir en una tabla:

cos (3 x) - 3 2 + cos^{2} (x) - sin^{2} (x) + 3 cos (x) \frac{c o s ( 3 x ) - 3}{2 + c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x ) + 3 c o s ( x )} x = 0 - + - 0 < x < \frac{2 π}{3} - + - x = \frac{2 π}{3} - 0 Sin definir \frac{2 π}{3} < x < π - - + x = π - 0 Sin definir π < x < \frac{4 π}{3} - - + x = \frac{4 π}{3} - 0 Sin definir \frac{4 π}{3} < x < 2 π - + - x = 2 π - + -

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

\frac{2 π}{3} < x < π or π < x < \frac{4 π}{3}

Utilizar la periodicidad de

\frac{cos ( 3 x ) - 3}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + 3 cos ( x )}

\frac{2 π}{3} + 2 πn < x < π + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Ejemplos populares

tan(x)<=-3

tan (x) \leq - 3

1/4 sin(x)>=-1

\frac{1}{4} sin (x) \geq - 1

cos(pi/6 θ)<0

cos (\frac{π}{6} θ) < 0

pi/2-arctan(e^n)>0.1

\frac{π}{2} - arctan (e^{n}) > 0.1

(cos(x)-1)<= 0

(cos (x) - 1) \leq 0