English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

sin(x)<cos(2x)

פתרון

sin (x) < cos (2 x)

פתרון

2 πn \leq x < \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

סימון מרווחים

[2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{6} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

עשרוני

2 πn \leq x < 0.52359 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

צעדי פתרון

sin (x) < cos (2 x)

לצד שמאל

cos (2 x)

העבר

sin (x) < cos (2 x)

משני האגפים

cos (2 x)

החסר

sin (x) - cos (2 x) < cos (2 x) - cos (2 x)

sin (x) - cos (2 x) < 0

sin (x) - cos (2 x) < 0

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

:השתמש בזהות הבאה

- (1 - 2 sin^{2} (x)) + sin (x) < 0

פשט

- 1 + 2 sin^{2} (x) + sin (x) < 0

u = sin (x) :

נניח ש

- 1 + 2 u^{2} + u < 0

- 1 + 2 u^{2} + u < 0 : - 1 < u < \frac{1}{2}

- 1 + 2 u^{2} + u < 0

- 1 + 2 u^{2} + u

פרק לגורמים את:

(2 u - 1) (u + 1)

- 1 + 2 u^{2} + u

a x^{2} + b x + c

כתוב בצורה הסטנדרטית

= 2 u^{2} + u - 1

חלק הביטוי לקבוצות

2 u^{2} + u - 1

הגדרה

Factors of

2 : 1, 2

2

Divisors (Factors)

Find the Prime factors of

2 : 2

2

הוא מספר ראשוני לכן פירוק לגורמים אינו אפשרי

2

= 2

Add 1

1

2

המחלקים של

1, 2

Negative factors of

2 : - 1, - 2

Multiply the factors by

- 1

to get the negative factors

- 1, - 2

For every two factors such that

u * v = - 2,

check if

u + v = 1

Check

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

לא נכוןCheck

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

נכון

u = 2, v = - 1

Group into

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

u

הוצא את הגורם

2 u^{2} - u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:הפעל את חוק החזקות

u^{2} = uu

= 2 uu - u

u

הוצא את הגורם המשותף

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

2 u - 1

הוצא את הגורם המשותף

= (2 u - 1) (u + 1)

(2 u - 1) (u + 1) < 0

זהה את הטווחים השונים

(2 u - 1) (u + 1)

:חשב את הסימן לכל אחד מהגורמים עבור

2 u - 1

:חשב את הסימן עבור

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

2 u - 1 = 0

לשני האגפים

1

הוסף

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

פשט

2 u = 1

2 u = 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u = 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

פשט

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

לצד ימין

1

העבר

2 u - 1 < 0

לשני האגפים

1

הוסף

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

פשט

2 u < 1

2 u < 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u < 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

פשט

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

לצד ימין

1

העבר

2 u - 1 > 0

לשני האגפים

1

הוסף

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

פשט

2 u > 1

2 u > 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u > 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

פשט

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

u + 1

:חשב את הסימן עבור

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

u + 1 = 0

משני האגפים

1

החסר

u + 1 - 1 = 0 - 1

פשט

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

לצד ימין

1

העבר

u + 1 < 0

משני האגפים

1

החסר

u + 1 - 1 < 0 - 1

פשט

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

לצד ימין

1

העבר

u + 1 > 0

משני האגפים

1

החסר

u + 1 - 1 > 0 - 1

פשט

u > - 1

u > - 1

סכם בטבלה

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

< 0 :

בחירת הטווחים המקיימים את התנאי

- 1 < u < \frac{1}{2}

- 1 < u < \frac{1}{2}

- 1 < u < \frac{1}{2}

u = sin (x)

החלף בחזרה

- 1 < sin (x) < \frac{1}{2}

a < u and u < b

אז

a < u < b

אם

- 1 < sin (x) and sin (x) < \frac{1}{2}

- 1 < sin (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

- 1 < sin (x)

הפוך את האגפים

sin (x) > - 1

For

sin (x) > a

, if

- 1 \leq a < 1

then

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- 1) + 2 πn < x < π - arcsin (- 1) + 2 πn

arcsin (- 1)

פשט את:

- \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

arcsin (- x) = - arcsin (x) :

השתמש בחוק הבא

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

π - arcsin (- 1)

פשט את:

\frac{3 π}{2}

π - arcsin (- 1)

arcsin (- 1) = - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

arcsin (- x) = - arcsin (x) :

השתמש בחוק הבא

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

= π - (- \frac{π}{2})

פשט

π - (- \frac{π}{2})

- (- a) = a

הפעל את החוק

= π + \frac{π}{2}

π = \frac{π 2}{2}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{π 2}{2} + \frac{π}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{π 2 + π}{2}

2 π + π = 3 π :

חבר איברים דומים

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) < \frac{1}{2} : - \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) < \frac{1}{2}

For

sin (x) < a

, if

- 1 < a \leq 1

then

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2})

פשט את:

- \frac{7 π}{6}

- π - arcsin (\frac{1}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6}

פשט

- π - \frac{π}{6}

π = \frac{π 6}{6}

:המר את המספרים לשברים

= - \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{- π 6 - π}{6}

- 6 π - π = - 7 π :

חבר איברים דומים

= \frac{- 7 π}{6}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= - \frac{7 π}{6}

= - \frac{7 π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

פשט את:

\frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

אחד את הטווחים

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn and - \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

מזג טווחים חופפים

2 πn \leq x < \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

דוגמאות פופולריות

cos^2(x)+sin(x)+1>= 0

cos^{2} (x) + sin (x) + 1 \geq 0

sin(3x)-(sqrt(2))/2 >= 0

sin (3 x) - \frac{2}{2} \geq 0

cos(2x)<cos(4x)

cos (2 x) < cos (4 x)

(sin(x))/(4cos^2(x)-1)<0

\frac{sin ( x )}{4 cos ^{2} ( x ) - 1} < 0

(arctan(x))>0

(arctan (x)) > 0